Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} + 2 x^{2} - 15 x - 36$

Etapa 1

Fatore $x^{3} + 2 x^{2} - 15 x - 36$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Etapa 1.3

Substitua $- 3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.1

Substitua $- 3$ no polinômio.

${(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 15 \cdot - 3 - 36$

Etapa 1.3.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- 27 + 2 {(- 3)}^{2} - 15 \cdot - 3 - 36$

Etapa 1.3.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- 27 + 2 \cdot 9 - 15 \cdot - 3 - 36$

Etapa 1.3.4

Multiplique $2$ por $9$ .

$- 27 + 18 - 15 \cdot - 3 - 36$

Etapa 1.3.5

Some $- 27$ e $18$ .

$- 9 - 15 \cdot - 3 - 36$

Etapa 1.3.6

Multiplique $- 15$ por $- 3$ .

$- 9 + 45 - 36$

Etapa 1.3.7

Some $- 9$ e $45$ .

$36 - 36$

Etapa 1.3.8

Subtraia $36$ de $36$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $- 3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 15 x - 36}{x + 3}$

Etapa 1.5

Divida $x^{3} + 2 x^{2} - 15 x - 36$ por $x + 3$ .

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Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$15 x$

$36$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} - 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$36$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 12 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$36$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$36$
							-	$12 x$	-	$36$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 12 x - 36$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$36$
							+	$12 x$	+	$36$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$36$
							+	$12 x$	+	$36$
										$0$

Etapa 1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x - 12$

Etapa 1.6

Escreva $x^{3} + 2 x^{2} - 15 x - 36$ como um conjunto de fatores.

$(x + 3) (x^{2} - x - 12)$

Etapa 2

Fatore $x^{2} - x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Fatore $x^{2} - x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 4, 3$

Etapa 2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 3) ((x - 4) (x + 3))$

Etapa 2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 3) (x - 4) (x + 3)$