Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} + x^{2} - 12$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Etapa 3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{3} + 2^{2} - 12$

Etapa 3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 + 2^{2} - 12$

Etapa 3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 + 4 - 12$

Etapa 3.4

Some $8$ e $4$ .

$12 - 12$

Etapa 3.5

Subtraia $12$ de $12$ .

$0$

Etapa 4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 12}{x - 2}$

Etapa 5

Divida $x^{3} + x^{2} - 12$ por $x - 2$ .

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Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$12$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Etapa 5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Etapa 5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} - 6 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$

Etapa 5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Etapa 5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Etapa 5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Etapa 5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x - 12$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Etapa 5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$
										$0$

Etapa 5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 3 x + 6$

Etapa 6

Escreva $x^{3} + x^{2} - 12$ como um conjunto de fatores.

$(x - 2) (x^{2} + 3 x + 6)$