Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} (x - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Etapa 1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} x + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Etapa 2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Etapa 2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Etapa 2.2

Some $2$ e $1$ .

$(x^{3} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Etapa 3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2) + 3 x + 6$

Etapa 4

Expanda $(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} (x + 2) - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Etapa 5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.1.1

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 5.1.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Etapa 5.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Etapa 5.1.1.2

Some $3$ e $1$ .

$x^{4} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Etapa 5.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Etapa 5.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.3.1

Mova $x$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Etapa 5.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Etapa 5.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Etapa 5.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Etapa 5.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Etapa 5.2

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$x^{4} + 0 - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Etapa 5.3

Some $x^{4}$ e $0$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Etapa 6

Reescreva $x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$ em uma forma fatorada.

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Etapa 6.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - 4 x^{2}$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Etapa 6.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 + 3 x + 6$

Etapa 6.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ .

$x^{2} (x^{2} - 4) + 3 x + 6$

Etapa 6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 2^{2}) + 3 x + 6$

Etapa 6.3

Fatore.

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Etapa 6.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$x^{2} ((x + 2) (x - 2)) + 3 x + 6$

Etapa 6.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 6$

Etapa 6.4

Fatore $3$ de $3 x + 6$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x) + 6$

Etapa 6.4.2

Fatore $3$ de $6$ .

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 3 \cdot 2$

Etapa 6.4.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$

Etapa 6.5

Fatore $x + 2$ de $x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$ .

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Etapa 6.5.1

Fatore $x + 2$ de $x^{2} (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + 3 (x + 2)$

Etapa 6.5.2

Fatore $x + 2$ de $3 (x + 2)$ .

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$

Etapa 6.5.3

Fatore $x + 2$ de $(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$ .

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 3)$

Etapa 6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Etapa 6.7

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.7.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 6.7.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x + 2) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Etapa 6.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Etapa 6.7.2

Some $2$ e $1$ .

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Etapa 6.8

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3)$

Etapa 6.9

Fatore.

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Etapa 6.9.1

Fatore $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 6.9.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 6.9.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 3$

Etapa 6.9.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 6.9.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Etapa 6.9.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Etapa 6.9.1.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 1 - 2 \cdot 1 + 3$

Etapa 6.9.1.3.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 1 - 2 + 3$

Etapa 6.9.1.3.5

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$- 3 + 3$

Etapa 6.9.1.3.6

Some $- 3$ e $3$ .

$0$

Etapa 6.9.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3}{x + 1}$

Etapa 6.9.1.5

Divida $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ por $x + 1$ .

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Etapa 6.9.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

Etapa 6.9.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$

Etapa 6.9.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 6.9.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 6.9.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Etapa 6.9.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 6.9.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 6.9.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 6.9.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{2} - 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 6.9.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$

Etapa 6.9.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

Etapa 6.9.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

Etapa 6.9.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	+	$3$

Etapa 6.9.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x + 3$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$

Etapa 6.9.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$
										$0$

Etapa 6.9.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 3 x + 3$

Etapa 6.9.1.6

Escreva $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ como um conjunto de fatores.

$(x + 2) ((x + 1) (x^{2} - 3 x + 3))$

Etapa 6.9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x + 1) (x^{2} - 3 x + 3)$