Pré-cálculo Exemplos

$\csc^{2} (x) - 1 = 0$ , $(0, 2 π)$

Etapa 1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\csc^{2} (x) = 1$

Etapa 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{1}$

Etapa 3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\csc (x) = \pm 1$

Etapa 4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\csc (x) = 1$

Etapa 4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\csc (x) = - 1$

Etapa 4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\csc (x) = 1, - 1$

Etapa 5

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 1$

Etapa 6

Resolva $x$ em $\csc (x) = 1$ .

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Etapa 6.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (1)$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1

O valor exato de $arccsc (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 6.3

A função cossecante é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 6.4

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 6.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.4.2

Combine frações.

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Etapa 6.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 6.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 6.4.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 6.5

Encontre o período de $\csc (x)$ .

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Etapa 6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.6

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Resolva $x$ em $\csc (x) = - 1$ .

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Etapa 7.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (- 1)$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.1

O valor exato de $arccsc (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 7.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 7.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 7.4.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 7.5

Encontre o período de $\csc (x)$ .

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Etapa 7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 7.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 7.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 7.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 7.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 7.6.3

Combine frações.

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Etapa 7.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 7.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 7.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.6.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 7.6.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 7.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 7.7

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Encontre os valores de $n$ que produzem um valor dentro do intervalo $(0, 2 π)$ .

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Etapa 10.1

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $(0, 2 π)$ .

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Etapa 10.1.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{π}{2} + π (0)$

Etapa 10.1.2

Simplifique.

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Etapa 10.1.2.1

Multiplique $π$ por $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Etapa 10.1.2.2

Some $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 10.1.3

O intervalo $(0, 2 π)$ contém $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 10.2

Substitua $1$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $(0, 2 π)$ .

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Etapa 10.2.1

Substitua $1$ por $n$ .

$\frac{π}{2} + π (1)$

Etapa 10.2.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.2.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{π}{2} + π$

Etapa 10.2.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 10.2.2.3

Combine frações.

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Etapa 10.2.2.3.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Etapa 10.2.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

Etapa 10.2.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.2.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Etapa 10.2.2.4.2

Some $π$ e $2 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 10.2.3

O intervalo $(0, 2 π)$ contém $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$