Pré-cálculo Exemplos

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ , $[0, 2 π]$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Etapa 2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Etapa 2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 2.3

Reescreva o polinômio.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Etapa 2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Etapa 3

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 5

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - 1$

Etapa 6

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- 1)$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 8

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 9

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 10

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 10.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 10.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 10.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 11

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π]$ .

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Etapa 12.1

Substitua $0$ por $n$ .

$π + 2 π (0)$

Etapa 12.2

Simplifique.

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Etapa 12.2.1

Multiplique $2 π (0)$ .

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Etapa 12.2.1.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$π + 0 π$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$π + 0$

Etapa 12.2.2

Some $π$ e $0$ .

$π$

Etapa 12.3

O intervalo $[0, 2 π]$ contém $π$ .

$x = π$