Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3 x^{3} + 15 x^{2} + 2 x + 3}{9 x^{2} - x + 6}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{3 x^{3} + 15 x^{2} + 2 x + 3}{9 x^{2} - x + 6}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$9 x^{2}$

$x$

$6$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x$

$3$

Etapa 6.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $9 x^{2}$ .

$\frac{x}{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$6$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x$

$3$

Etapa 6.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$\frac{x}{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$6$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x$

$3$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{3}$

$2 x$

Etapa 6.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{3} - \frac{x^{2}}{3} + 2 x$ .

$\frac{x}{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$6$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x$

$3$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{3}$

$2 x$

Etapa 6.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$\frac{x}{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$6$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x$

$3$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{3}$

$2 x$

$\frac{46 x^{2}}{3}$

$0$

Etapa 6.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$\frac{x}{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$6$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x$

$3$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{3}$

$2 x$

$\frac{46 x^{2}}{3}$

$0$

$3$

Etapa 6.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $\frac{46 x^{2}}{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $9 x^{2}$ .

$\frac{x}{3}$

$\frac{46}{27}$

$9 x^{2}$

$x$

$6$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x$

$3$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{3}$

$2 x$

$\frac{46 x^{2}}{3}$

$0$

$3$

Etapa 6.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$\frac{x}{3}$

$\frac{46}{27}$

$9 x^{2}$

$x$

$6$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x$

$3$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{3}$

$2 x$

$\frac{46 x^{2}}{3}$

$0$

$3$

$\frac{46 x^{2}}{3}$

$\frac{46 x}{27}$

$\frac{92}{9}$

Etapa 6.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $\frac{46 x^{2}}{3} - \frac{46 x}{27} + \frac{92}{9}$ .

$\frac{x}{3}$

$\frac{46}{27}$

$9 x^{2}$

$x$

$6$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x$

$3$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{3}$

$2 x$

$\frac{46 x^{2}}{3}$

$0$

$3$

$\frac{46 x^{2}}{3}$

$\frac{46 x}{27}$

$\frac{92}{9}$

Etapa 6.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$\frac{x}{3}$

$\frac{46}{27}$

$9 x^{2}$

$x$

$6$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x$

$3$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{3}$

$2 x$

$\frac{46 x^{2}}{3}$

$0$

$3$

$\frac{46 x^{2}}{3}$

$\frac{46 x}{27}$

$\frac{92}{9}$

$\frac{46 x}{27}$

$\frac{65}{9}$

Etapa 6.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{x}{3} + \frac{46}{27} + \frac{\frac{46 x}{27} - \frac{65}{9}}{9 x^{2} - x + 6}$

Etapa 6.12

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = \frac{x}{3} + \frac{46}{27}$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = \frac{x}{3} + \frac{46}{27}$

Etapa 8