Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ é indefinida.

$x = 0, x = 1$

Etapa 2

$\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 0$

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x - x^{2}}$

Etapa 6.1.1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x - x^{2}}$

Etapa 6.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x - x^{2}}$

Etapa 6.1.1.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - x^{2}}$

Etapa 6.1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Fatore $x$ de $x - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{1} - x^{2}}$

Etapa 6.1.2.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot 1 - x^{2}}$

Etapa 6.1.2.1.3

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot 1 + x (- x)}$

Etapa 6.1.2.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum de $x - 1$ e $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Fatore $- 1$ de $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

Etapa 6.1.2.2.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (1)) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

Etapa 6.1.2.2.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

Etapa 6.1.2.2.4

Reordene os termos.

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (- x + 1)}$

Etapa 6.1.2.2.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (- x + 1)}$

Etapa 6.1.2.2.6

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 (x^{2} + x + 1)}{x}$

Etapa 6.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Etapa 6.2

Expanda $- (x^{2} + x + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Negative $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{- (x^{2} + x + 1)}{x}$

Etapa 6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- (x^{2} + x) - 1 \cdot 1}{x}$

Etapa 6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} - x - 1 \cdot 1}{x}$

Etapa 6.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} - x - 1}{x}$

Etapa 6.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$x$

$1$

Etapa 6.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$

Etapa 6.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

Etapa 6.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} + 0$ .

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

Etapa 6.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$

Etapa 6.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$

Etapa 6.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$

Etapa 6.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					-	$x$	+	$0$

Etapa 6.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x + 0$ .

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	-	$0$

Etapa 6.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	-	$0$
							-	$1$

Etapa 6.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- x - 1 - \frac{1}{x}$

Etapa 6.14

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$- x - 1 + \frac{x - 1}{- x^{2} + x}$

Etapa 6.15

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = - x - 1$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = - x - 1$

Etapa 8