Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 5}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 5}$ é indefinida.

$x = - 5$

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 6.1.1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 5^{2}}{x + 5}$

Etapa 6.1.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Etapa 6.1.1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}{x + 5}$

Etapa 6.1.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x + 5}$

Etapa 6.1.2

Cancele o fator comum de ${(x + 5)}^{2}$ e $x + 5$ .

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $x + 5$ de ${(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 6.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{(x + 5) \cdot 1}$

Etapa 6.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{(x + 5) \cdot 1}$

Etapa 6.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 5}{1}$

Etapa 6.1.2.2.4

Divida $x + 5$ por $1$ .

$x + 5$

Etapa 6.2

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x + 5$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x + 5$

Etapa 8