Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5}{1 + 4 e^{- 2 x}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{5}{1 + 4 e^{- 2 x}}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{5}{1 + 4 e^{- 2 x}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.1

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + 4 e^{- 2 x}}$

Etapa 3.1.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + 4 e^{- 2 x}}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + 4 e^{- 2 x}}$

Etapa 3.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 4 e^{- 2 x}}$

Etapa 3.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$5 \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} 4 e^{- 2 x}}$

Etapa 3.1.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 \frac{1}{1 + 4 lim_{x \to \infty} e^{- 2 x}}$

Etapa 3.2

Como o expoente $- 2 x$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{- 2 x}$ se aproxima de $0$ .

$5 \frac{1}{1 + 4 \cdot 0}$

Etapa 3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$5 \frac{1}{1 + 0}$

Etapa 3.3.1.2

Some $1$ e $0$ .

$5 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$5 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 4

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{5}{1 + 4 e^{- 2 x}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 4.1

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{1 + 4 e^{- 2 x}}$

Etapa 4.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{1 + 4 e^{- 2 x}}$ se aproxima de $0$ .

$5 \cdot 0$

Etapa 4.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$0$

Etapa 5

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 5, 0$

Etapa 6

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = 5, 0$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 8