Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5 x^{4} - 7}{x + 3}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{5 x^{4} - 7}{x + 3}$ é indefinida.

$x = - 3$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 4$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$5 x^{3}$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$5 x^{3}$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{4} + 15 x^{3}$ .

$5 x^{3}$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$5 x^{3}$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

Etapa 5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$5 x^{3}$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 15 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$15 x^{3}$

$45 x^{2}$

Etapa 5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 15 x^{3} - 45 x^{2}$ .

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$15 x^{3}$

$45 x^{2}$

Etapa 5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$15 x^{3}$

$45 x^{2}$

Etapa 5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$15 x^{3}$

$45 x^{2}$

$0 x$

Etapa 5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $45 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$45 x$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$15 x^{3}$

$45 x^{2}$

$0 x$

Etapa 5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$45 x$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$15 x^{3}$

$45 x^{2}$

$0 x$

$45 x^{2}$

$135 x$

Etapa 5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $45 x^{2} + 135 x$ .

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$45 x$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$15 x^{3}$

$45 x^{2}$

$0 x$

$45 x^{2}$

$135 x$

Etapa 5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$45 x$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$15 x^{3}$

$45 x^{2}$

$0 x$

$45 x^{2}$

$135 x$

Etapa 5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$45 x$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$15 x^{3}$

$45 x^{2}$

$0 x$

$45 x^{2}$

$135 x$

$7$

Etapa 5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 135 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$45 x$

$135$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$15 x^{3}$

$45 x^{2}$

$0 x$

$45 x^{2}$

$135 x$

$7$

Etapa 5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$45 x$

$135$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$15 x^{3}$

$45 x^{2}$

$0 x$

$45 x^{2}$

$135 x$

$7$

$135 x$

$405$

Etapa 5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 135 x - 405$ .

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$45 x$

$135$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$15 x^{3}$

$45 x^{2}$

$0 x$

$45 x^{2}$

$135 x$

$7$

$135 x$

$405$

Etapa 5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$45 x$

$135$

$x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$15 x^{3}$

$45 x^{2}$

$0 x$

$45 x^{2}$

$135 x$

$7$

$135 x$

$405$

$398$

Etapa 5.21

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$5 x^{3} - 15 x^{2} + 45 x - 135 + \frac{398}{x + 3}$

Etapa 5.22

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 5 x^{3} - 15 x^{2} + 45 x - 135$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 3$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 5 x^{3} - 15 x^{2} + 45 x - 135$

Etapa 7