Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ é indefinida.

$x = - 5, x = 1$

Etapa 2

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 5$ a partir da esquerda e $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 5$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 5$

Etapa 3

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $1$ a partir da esquerda e $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $1$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 1$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - 5, 1$

Etapa 5

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 7

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 8

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 8.1

Fatore $x^{2} + 4 x - 5$ usando o método AC.

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Etapa 8.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $4$ .

$- 1, 5$

Etapa 8.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{5 x^{3} - 4}{(x - 1) (x + 5)}$

Etapa 8.2

Expanda $(x - 1) (x + 5)$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x (x + 5) - 1 (x + 5)}$

Etapa 8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 (x + 5)}$

Etapa 8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}$

Etapa 8.2.4

Reordene $x$ e $5$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Etapa 8.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Etapa 8.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Etapa 8.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{1 + 1} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Etapa 8.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Etapa 8.2.9

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 5}$

Etapa 8.2.10

Subtraia $1 x$ de $5 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 8.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Etapa 8.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Etapa 8.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

Etapa 8.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{3} + 20 x^{2} - 25 x$ .

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

Etapa 8.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

Etapa 8.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

Etapa 8.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 20 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$

Etapa 8.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							-	$20 x^{2}$	-	$80 x$	+	$100$

Etapa 8.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 20 x^{2} - 80 x + 100$ .

$5 x$

$20$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

$20 x^{2}$

$80 x$

$100$

Etapa 8.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							+	$20 x^{2}$	+	$80 x$	-	$100$
									+	$105 x$	-	$104$

Etapa 8.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$5 x - 20 + \frac{105 x - 104}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 8.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 5 x - 20$

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 5, 1$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 5 x - 20$

Etapa 10