Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{6 x - x^{2}}{5 x - 5}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{6 x - x^{2}}{5 x - 5}$ é indefinida.

$x = 1$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1

Fatore $x$ de $6 x - x^{2}$ .

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Etapa 5.1.1.1

Fatore $x$ de $6 x$ .

$\frac{x \cdot 6 - x^{2}}{5 x - 5}$

Etapa 5.1.1.2

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 6 + x (- x)}{5 x - 5}$

Etapa 5.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot 6 + x (- x)$ .

$\frac{x (6 - x)}{5 x - 5}$

Etapa 5.1.2

Fatore $5$ de $5 x - 5$ .

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Etapa 5.1.2.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{x (6 - x)}{5 (x) - 5}$

Etapa 5.1.2.2

Fatore $5$ de $- 5$ .

$\frac{x (6 - x)}{5 (x) + 5 (- 1)}$

Etapa 5.1.2.3

Fatore $5$ de $5 (x) + 5 (- 1)$ .

$\frac{x (6 - x)}{5 (x - 1)}$

Etapa 5.2

Expanda $x (6 - x)$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 6 + x (- x)}{5 (x - 1)}$

Etapa 5.2.2

Reordene $x$ e $6$ .

$\frac{6 \cdot x + x (- x)}{5 (x - 1)}$

Etapa 5.2.3

Remova os parênteses.

$\frac{6 \cdot x + x \cdot (- 1 x)}{5 (x - 1)}$

Etapa 5.2.4

Reordene $x$ e $- 1$ .

$\frac{6 x - 1 \cdot (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Etapa 5.2.5

Multiplique $- 1$ por $x$ .

$\frac{6 x - 1 x \cdot x}{5 (x - 1)}$

Etapa 5.2.6

Fatore o negativo.

$\frac{6 x - (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Etapa 5.2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 x - (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Etapa 5.2.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 x - (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Etapa 5.2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 x - x^{1 + 1}}{5 (x - 1)}$

Etapa 5.2.10

Some $1$ e $1$ .

$\frac{6 x - x^{2}}{5 (x - 1)}$

Etapa 5.2.11

Reordene $6 x$ e $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 6 x}{5 (x - 1)}$

Etapa 5.3

Expanda $5 (x - 1)$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} + 6 x}{5 x + 5 \cdot - 1}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 6 x}{5 x - 5}$

Etapa 5.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$5 x$

$5$

$x^{2}$

$6 x$

$0$

Etapa 5.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $5 x$ .

				-	$\frac{x}{5}$
	$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$

Etapa 5.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 5.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} + x$ .

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 5.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$

Etapa 5.9

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$

Etapa 5.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $5 x$ .

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$

Etapa 5.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$
					+	$5 x$	-	$5$

Etapa 5.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x - 5$ .

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$
					-	$5 x$	+	$5$

Etapa 5.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$
					-	$5 x$	+	$5$
							+	$5$

Etapa 5.14

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- \frac{x}{5} + 1 + \frac{5}{5 x - 5}$

Etapa 5.15

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = - \frac{x}{5} + 1$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 1$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = - \frac{x}{5} + 1$

Etapa 7