Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 12}{x - 5}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{2} + x - 12}{x - 5}$ é indefinida.

$x = 5$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Fatore $x^{2} + x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 5.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $1$ .

$- 3, 4$

Etapa 5.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 5}$

Etapa 5.2

Expanda $(x - 3) (x + 4)$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x + 4) - 3 (x + 4)}{x - 5}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 - 3 (x + 4)}{x - 5}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 - 3 x - 3 \cdot 4}{x - 5}$

Etapa 5.2.4

Reordene $x$ e $4$ .

$\frac{x \cdot x + 4 x - 3 x - 3 \cdot 4}{x - 5}$

Etapa 5.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x + 4 x - 3 x - 3 \cdot 4}{x - 5}$

Etapa 5.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x + 4 x - 3 x - 3 \cdot 4}{x - 5}$

Etapa 5.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 1} + 4 x - 3 x - 3 \cdot 4}{x - 5}$

Etapa 5.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 x - 3 \cdot 4}{x - 5}$

Etapa 5.2.9

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 x - 12}{x - 5}$

Etapa 5.2.10

Subtraia $3 x$ de $4 x$ .

$\frac{x^{2} + x - 12}{x - 5}$

Etapa 5.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$5$

$x^{2}$

$x$

$12$

Etapa 5.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$12$

Etapa 5.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
			+	$x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 5.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - 5 x$ .

				$x$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 5.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$6 x$

Etapa 5.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$6 x$	-	$12$

Etapa 5.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x$	+	$6$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$6 x$	-	$12$

Etapa 5.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$	+	$6$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$6 x$	-	$12$
					+	$6 x$	-	$30$

Etapa 5.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x - 30$ .

				$x$	+	$6$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$6 x$	-	$12$
					-	$6 x$	+	$30$

Etapa 5.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$	+	$6$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$6 x$	-	$12$
					-	$6 x$	+	$30$
							+	$18$

Etapa 5.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x + 6 + \frac{18}{x - 5}$

Etapa 5.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x + 6$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 5$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x + 6$

Etapa 7