Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{x} + \frac{5}{x - 3}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{1}{x} + \frac{5}{x - 3} = y$ .

$\frac{1}{x} + \frac{5}{x - 3} = y$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, x - 3, 1$

Etapa 2.2

Since $x, x - 3, 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

As etapas para encontrar o MMC de $x, x - 3, 1$ são:

1. Encontre o MMC da parte numérica $1, 1, 1$ .

2. Encontre o MMC da parte variável $x^{1}$ .

3. Encontre o MMC da parte variável composta $x - 3$ .

4. Multiplique todos os MMCs juntos.

Etapa 2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.5

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.6

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O MMC de $x^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x$

Etapa 2.8

O fator de $x - 3$ é o próprio $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.9

O MMC de $x - 3$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x - 3$

Etapa 2.10

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$x (x - 3)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} + \frac{5}{x - 3} = y$ por $x (x - 3)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} + \frac{5}{x - 3} = y$ por $x (x - 3)$ .

$\frac{1}{x} (x (x - 3)) + \frac{5}{x - 3} (x (x - 3)) = y (x (x - 3))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} (x (x - 3)) + \frac{5}{x - 3} (x (x - 3)) = y (x (x - 3))$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x - 3 + \frac{5}{x - 3} (x (x - 3)) = y (x (x - 3))$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Fatore $x - 3$ de $x (x - 3)$ .

$x - 3 + \frac{5}{x - 3} ((x - 3) x) = y (x (x - 3))$

Etapa 3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x - 3 + \frac{5}{x - 3} ((x - 3) x) = y (x (x - 3))$

Etapa 3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x - 3 + 5 x = y (x (x - 3))$

Etapa 3.2.2

Some $x$ e $5 x$ .

$6 x - 3 = y (x (x - 3))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x - 3 = y (x \cdot x + x \cdot - 3)$

Etapa 3.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$6 x - 3 = y (x^{2} + x \cdot - 3)$

Etapa 3.3.2.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$6 x - 3 = y (x^{2} - 3 \cdot x)$

Etapa 3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x - 3 = y x^{2} + y (- 3 x)$

Etapa 3.3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x - 3 = y x^{2} - 3 y x$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$y x^{2} - 3 y x = 6 x - 3$

Etapa 4.2

Subtraia $6 x$ dos dois lados da equação.

$y x^{2} - 3 y x - 6 x = - 3$

Etapa 4.3

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y x^{2} - 3 y x - 6 x + 3 = 0$

Etapa 4.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.5

Substitua os valores $a = y$ , $b = - 3 y - 6$ e $c = 3$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- (- 3 y - 6) \pm \sqrt{{(- 3 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot 3)}}{2 y}$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- (- 3 y) + 6 \pm \sqrt{{(- 3 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{{(- 3 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Etapa 4.6.3

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{{(- 3 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Etapa 4.6.4

Reescreva ${(- 3 y - 6)}^{2}$ como $(- 3 y - 6) (- 3 y - 6)$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{(- 3 y - 6) (- 3 y - 6) - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Etapa 4.6.5

Expanda $(- 3 y - 6) (- 3 y - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 y (- 3 y - 6) - 6 (- 3 y - 6) - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Etapa 4.6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 y (- 3 y) - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y - 6) - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Etapa 4.6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 y (- 3 y) - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Etapa 4.6.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.6.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.6.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 y \cdot y) - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Etapa 4.6.6.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 4.6.6.1.2.1

Mova $y$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 (y \cdot y)) - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Etapa 4.6.6.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 y^{2}) - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Etapa 4.6.6.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Etapa 4.6.6.1.4

Multiplique $- 6$ por $- 3$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 18 y - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Etapa 4.6.6.1.5

Multiplique $- 3$ por $- 6$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 18 y + 18 y - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Etapa 4.6.6.1.6

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 18 y + 18 y + 36 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Etapa 4.6.6.2

Some $18 y$ e $18 y$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 36 y + 36 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Etapa 4.6.7

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 36 y + 36 - 12 y}}{2 y}$

Etapa 4.6.8

Subtraia $12 y$ de $36 y$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 24 y + 36}}{2 y}$

Etapa 4.6.9

Fatore $3$ de $9 y^{2} + 24 y + 36$ .

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Etapa 4.6.9.1

Fatore $3$ de $9 y^{2}$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{3 (3 y^{2}) + 24 y + 36}}{2 y}$

Etapa 4.6.9.2

Fatore $3$ de $24 y$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{3 (3 y^{2}) + 3 (8 y) + 36}}{2 y}$

Etapa 4.6.9.3

Fatore $3$ de $36$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{3 (3 y^{2}) + 3 (8 y) + 3 (12)}}{2 y}$

Etapa 4.6.9.4

Fatore $3$ de $3 (3 y^{2}) + 3 (8 y)$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y) + 3 (12)}}{2 y}$

Etapa 4.6.9.5

Fatore $3$ de $3 (3 y^{2} + 8 y) + 3 (12)$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y + 12)}}{2 y}$

Etapa 4.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{3 y + 6 + \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y + 12)}}{2 y}$

$x = \frac{3 y + 6 - \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y + 12)}}{2 y}$

$x = \frac{3 y + 6 + \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y + 12)}}{2 y}$

$x = \frac{3 y + 6 - \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y + 12)}}{2 y}$