Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x}{(3 x - 7) (2 x + 1)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{3 x - 7}$

Etapa 1.2

$\frac{A}{3 x - 7} + \frac{B}{2 x + 1}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(3 x - 7) (2 x + 1)$ .

$\frac{x (3 x - 7) (2 x + 1)}{(3 x - 7) (2 x + 1)} = \frac{(A) (3 x - 7) (2 x + 1)}{3 x - 7} + \frac{(B) (3 x - 7) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $3 x - 7$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (3 x - 7) (2 x + 1)}{(3 x - 7) (2 x + 1)} = \frac{(A) (3 x - 7) (2 x + 1)}{3 x - 7} + \frac{(B) (3 x - 7) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{(A) (3 x - 7) (2 x + 1)}{3 x - 7} + \frac{(B) (3 x - 7) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{(A) (3 x - 7) (2 x + 1)}{3 x - 7} + \frac{(B) (3 x - 7) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.5.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A) (3 x - 7) (2 x + 1)}{3 x - 7} + \frac{(B) (3 x - 7) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $3 x - 7$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{A (3 x - 7) (2 x + 1)}{3 x - 7} + \frac{(B) (3 x - 7) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $(A) (2 x + 1)$ por $1$ .

$x = (A) (2 x + 1) + \frac{(B) (3 x - 7) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A (2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) (3 x - 7) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.6.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (3 x - 7) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.6.4

Multiplique $A$ por $1$ .

$x = 2 A x + A + \frac{(B) (3 x - 7) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.6.5

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$x = 2 A x + A + \frac{(B) (3 x - 7) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.6.5.2

Divida $(B) (3 x - 7)$ por $1$ .

$x = 2 A x + A + (B) (3 x - 7)$

Etapa 1.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$x = 2 A x + A + B (3 x) + B \cdot - 7$

Etapa 1.6.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = 2 A x + A + 3 B x + B \cdot - 7$

Etapa 1.6.8

Mova $- 7$ para a esquerda de $B$ .

$x = 2 A x + A + 3 B x - 7 B$

Etapa 1.7

Reordene.

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Etapa 1.7.1

Mova $A$ .

$x = 2 x A + A + 3 B x - 7 B$

Etapa 1.7.2

Mova $B$ .

$x = 2 x A + A + 3 x B - 7 B$

Etapa 1.7.3

Mova $A$ .

$x = 2 x A + 3 x B + A - 7 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 2 A + 3 B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A - 7 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = 2 A + 3 B$

$0 = A - 7 B$

$1 = 2 A + 3 B$

$0 = A - 7 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $0 = A - 7 B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A - 7 B = 0$ .

$A - 7 B = 0$

$1 = 2 A + 3 B$

Etapa 3.1.2

Some $7 B$ aos dois lados da equação.

$A = 7 B$

$1 = 2 A + 3 B$

$A = 7 B$

$1 = 2 A + 3 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $7 B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = 2 A + 3 B$ por $7 B$ .

$1 = 2 (7 B) + 3 B$

$A = 7 B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (7 B) + 3 B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique $7$ por $2$ .

$1 = 14 B + 3 B$

$A = 7 B$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $14 B$ e $3 B$ .

$1 = 17 B$

$A = 7 B$

$1 = 17 B$

$A = 7 B$

$1 = 17 B$

$A = 7 B$

$1 = 17 B$

$A = 7 B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $1 = 17 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $17 B = 1$ .

$17 B = 1$

$A = 7 B$

Etapa 3.3.2

Divida cada termo em $17 B = 1$ por $17$ e simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Divida cada termo em $17 B = 1$ por $17$ .

$\frac{17 B}{17} = \frac{1}{17}$

$A = 7 B$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $17$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{17 B}{17} = \frac{1}{17}$

$A = 7 B$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{17}$

$A = 7 B$

$B = \frac{1}{17}$

$A = 7 B$

$B = \frac{1}{17}$

$A = 7 B$

$B = \frac{1}{17}$

$A = 7 B$

$B = \frac{1}{17}$

$A = 7 B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{17}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 7 B$ por $\frac{1}{17}$ .

$A = 7 (\frac{1}{17})$

$B = \frac{1}{17}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Combine $7$ e $\frac{1}{17}$ .

$A = \frac{7}{17}$

$B = \frac{1}{17}$

$A = \frac{7}{17}$

$B = \frac{1}{17}$

$A = \frac{7}{17}$

$B = \frac{1}{17}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{7}{17}, B = \frac{1}{17}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{3 x - 7} + \frac{B}{2 x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{7}{17}}{3 x - 7} + \frac{\frac{1}{17}}{2 x + 1}$