Pré-cálculo Exemplos

$\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

Etapa 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $81$ .

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Etapa 1.1

Multiplique $\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$ por $\frac{81}{81}$ .

$\frac{81}{81} \cdot \frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

Etapa 1.2

Combine.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81})}{81 (x - \frac{1}{3})}$

Etapa 2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (- \frac{1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 3

Simplifique cancelando.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $81$ .

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Etapa 3.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{81}$ para o numerador.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{3}$ para o numerador.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (\frac{- 1}{3})}$

Etapa 3.2.2

Fatore $3$ de $81$ .

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 (27) \frac{- 1}{3}}$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 \cdot 27 \frac{- 1}{3}}$

Etapa 3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 27 \cdot - 1}$

Etapa 3.3

Multiplique $27$ por $- 1$ .

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x - 27}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $3$ de $81$ .

$\frac{3 (27) \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Etapa 4.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 27 \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Etapa 4.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Etapa 4.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{2}{9}$ .

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}$ para o numerador.

$\frac{27 x^{3} + 81 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Etapa 4.3.2

Fatore $9$ de $81$ .

$\frac{27 x^{3} + 9 (9) \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x^{3} + 9 \cdot 9 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Etapa 4.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{27 x^{3} + 9 (- x^{2} \cdot 2) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Etapa 4.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{27 x^{3} + 9 (- 2 x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Etapa 4.5

Multiplique $- 2$ por $9$ .

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Etapa 4.6

Cancele o fator comum de $27$ .

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Etapa 4.6.1

Fatore $27$ de $81$ .

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 (3) \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

Etapa 4.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 \cdot 3 \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

Etapa 4.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 3 \cdot 2 x - 1}{81 x - 27}$

Etapa 4.7

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{81 x - 27}$

Etapa 4.8

Fatore $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 4.8.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Etapa 4.8.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{037}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.\overline{1}$

Etapa 4.8.3

Substitua $0.\overline{3}$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.\overline{3}$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 4.8.3.1

Substitua $0.\overline{3}$ no polinômio.

$27 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Etapa 4.8.3.2

Eleve $0.\overline{3}$ à potência de $3$ .

$27 \cdot 0.\overline{037} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Etapa 4.8.3.3

Multiplique $27$ por $0.\overline{037}$ .

$1 - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Etapa 4.8.3.4

Eleve $0.\overline{3}$ à potência de $2$ .

$1 - 18 \cdot 0.\overline{1} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Etapa 4.8.3.5

Multiplique $- 18$ por $0.\overline{1}$ .

$1 - 2 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Etapa 4.8.3.6

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 1 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Etapa 4.8.3.7

Multiplique $6$ por $0.\overline{3}$ .

$- 1 + 2 - 1$

Etapa 4.8.3.8

Some $- 1$ e $2$ .

$1 - 1$

Etapa 4.8.3.9

Subtraia $1$ de $1$ .

$0$

Etapa 4.8.4

Como $0.\overline{3}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $3 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{3 x - 1}$

Etapa 4.8.5

Divida $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ por $3 x - 1$ .

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Etapa 4.8.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$1$

$27 x^{3}$

$18 x^{2}$

$6 x$

$1$

Etapa 4.8.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $27 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

					$9 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$

Etapa 4.8.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			+	$27 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Etapa 4.8.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $27 x^{3} - 9 x^{2}$ .

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

Etapa 4.8.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Etapa 4.8.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 4.8.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 9 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 4.8.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 4.8.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 9 x^{2} + 3 x$ .

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 4.8.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$

Etapa 4.8.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

Etapa 4.8.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

Etapa 4.8.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	-	$1$

Etapa 4.8.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x - 1$ .

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$

Etapa 4.8.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$
										$0$

Etapa 4.8.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$9 x^{2} - 3 x + 1$

Etapa 4.8.6

Escreva $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ como um conjunto de fatores.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{81 x - 27}$

Etapa 5

Fatore $27$ de $81 x - 27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Fatore $27$ de $81 x$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) - 27}$

Etapa 5.2

Fatore $27$ de $- 27$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) + 27 (- 1)}$

Etapa 5.3

Fatore $27$ de $27 (3 x) + 27 (- 1)$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $3 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

Etapa 6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$

Etapa 7

Divida a fração $\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$ em duas frações.

$\frac{9 x^{2} - 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Etapa 8

Divida a fração $\frac{9 x^{2} - 3 x}{27}$ em duas frações.

$\frac{9 x^{2}}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $9$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Fatore $9$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{9 (x^{2})}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Etapa 9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Fatore $9$ de $27$ .

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Etapa 9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Etapa 9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Etapa 10

Cancele o fator comum de $- 3$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Fatore $3$ de $- 3 x$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{27} + \frac{1}{27}$

Etapa 10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 (9)} + \frac{1}{27}$

Etapa 10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 \cdot 9} + \frac{1}{27}$

Etapa 10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- x}{9} + \frac{1}{27}$

Etapa 11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{x}{9} + \frac{1}{27}$