Pré-cálculo Exemplos

$7 \sin^{2} (x) - 14 \sin (x) + 2 = - 5$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$7 {(u)}^{2} - 14 u + 2 = - 5$

Etapa 2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$7 u^{2} - 14 u + 2 + 5 = 0$

Etapa 3

Some $2$ e $5$ .

$7 u^{2} - 14 u + 7 = 0$

Etapa 4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1

Fatore $7$ de $7 u^{2} - 14 u + 7$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $7$ de $7 u^{2}$ .

$7 u^{2} - 14 u + 7 = 0$

Etapa 4.1.2

Fatore $7$ de $- 14 u$ .

$7 u^{2} + 7 (- 2 u) + 7 = 0$

Etapa 4.1.3

Fatore $7$ de $7$ .

$7 u^{2} + 7 (- 2 u) + 7 (1) = 0$

Etapa 4.1.4

Fatore $7$ de $7 u^{2} + 7 (- 2 u)$ .

$7 (u^{2} - 2 u) + 7 (1) = 0$

Etapa 4.1.5

Fatore $7$ de $7 (u^{2} - 2 u) + 7 (1)$ .

$7 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Etapa 4.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$7 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Etapa 4.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 4.2.3

Reescreva o polinômio.

$7 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 4.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

$7 {(u - 1)}^{2} = 0$

Etapa 5

Divida cada termo em $7 {(u - 1)}^{2} = 0$ por $7$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $7 {(u - 1)}^{2} = 0$ por $7$ .

$\frac{7 {(u - 1)}^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 {(u - 1)}^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Etapa 5.2.1.2

Divida ${(u - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{7}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Divida $0$ por $7$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Etapa 6

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 7

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 8

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = 1$

Etapa 9

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Etapa 10

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 11

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 12

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 12.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 12.2

Combine frações.

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Etapa 12.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 12.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 12.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 12.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 13

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 13.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 13.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 13.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 14

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15