Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} - x^{3} - 8 x + 8 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{4} - x^{3}) - 8 x + 8 = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{3} (x - 1) - 8 (x - 1) = 0$

Etapa 1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$(x - 1) (x^{3} - 8) = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$(x - 1) (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Etapa 1.4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 1) ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Etapa 1.5

Fatore.

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Etapa 1.5.1

Simplifique.

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Etapa 1.5.1.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$(x - 1) ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Etapa 1.5.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(x - 1) ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Etapa 1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Etapa 3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5

Defina $x^{2} + 2 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x^{2} + 2 x + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3

Simplifique.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 5.2.3.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2.3.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 7