Pré-cálculo Exemplos

$x^{5} - 3 x^{4} + 19 x^{3} - 49 x^{2} + 48 x - 16$

Etapa 1

Defina $x^{5} - 3 x^{4} + 19 x^{3} - 49 x^{2} + 48 x - 16$ como igual a $0$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 19 x^{3} - 49 x^{2} + 48 x - 16 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$x^{5} + 19 x^{3} + 48 x - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x$ de $x^{5} + 19 x^{3} + 48 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + 19 x^{3} + 48 x - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $x$ de $19 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (19 x^{2}) + 48 x - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $x$ de $48 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (19 x^{2}) + x \cdot 48 - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Etapa 2.1.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (19 x^{2})$ .

$x (x^{4} + 19 x^{2}) + x \cdot 48 - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Etapa 2.1.2.5

Fatore $x$ de $x (x^{4} + 19 x^{2}) + x \cdot 48$ .

$x (x^{4} + 19 x^{2} + 48) - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + 19 x^{2} + 48) - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Etapa 2.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (u^{2} + 19 u + 48) - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $u^{2} + 19 u + 48$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $48$ e cuja soma é $19$ .

$3, 16$

Etapa 2.1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((u + 3) (u + 16)) - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore.

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Etapa 2.1.6.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x ((x^{2} + 3) (x^{2} + 16)) - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Etapa 2.1.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Etapa 2.1.7

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) - 3 {(x^{2})}^{2} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Etapa 2.1.8

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) - 3 u^{2} - 49 u - 16 = 0$

Etapa 2.1.9

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.9.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 3 \cdot - 16 = 48$ e cuja soma é $b = - 49$ .

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Etapa 2.1.9.1.1

Fatore $- 49$ de $- 49 u$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) - 3 u^{2} - 49 u - 16 = 0$

Etapa 2.1.9.1.2

Reescreva $- 49$ como $- 1$ mais $- 48$

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) - 3 u^{2} + (- 1 - 48) u - 16 = 0$

Etapa 2.1.9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) - 3 u^{2} - 1 u - 48 u - 16 = 0$

Etapa 2.1.9.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.9.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) - 3 u^{2} - 1 u - 48 u - 16 = 0$

Etapa 2.1.9.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) + u (- 3 u - 1) + 16 (- 3 u - 1) = 0$

Etapa 2.1.9.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 3 u - 1$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) + (- 3 u - 1) (u + 16) = 0$

Etapa 2.1.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) + (- 3 x^{2} - 1) (x^{2} + 16) = 0$

Etapa 2.1.11

Fatore $x^{2} + 16$ de $x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) + (- 3 x^{2} - 1) (x^{2} + 16)$ .

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Etapa 2.1.11.1

Fatore $x^{2} + 16$ de $x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16)$ .

$(x^{2} + 16) (x (x^{2} + 3)) + (- 3 x^{2} - 1) (x^{2} + 16) = 0$

Etapa 2.1.11.2

Fatore $x^{2} + 16$ de $(- 3 x^{2} - 1) (x^{2} + 16)$ .

$(x^{2} + 16) (x (x^{2} + 3)) + (x^{2} + 16) (- 3 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.1.11.3

Fatore $x^{2} + 16$ de $(x^{2} + 16) (x (x^{2} + 3)) + (x^{2} + 16) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} + 16) (x (x^{2} + 3) - 3 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.1.12

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} + 16) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 3 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.1.13

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.13.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.1.13.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x^{2} + 16) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 3 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.1.13.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x^{2} + 16) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - 3 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.1.13.2

Some $1$ e $2$ .

$(x^{2} + 16) (x^{3} + x \cdot 3 - 3 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.1.14

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$(x^{2} + 16) (x^{3} + 3 x - 3 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.1.15

Reordene os termos.

$(x^{2} + 16) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) = 0$

Etapa 2.1.16

Reescreva $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.1.16.1

Fatore $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.16.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.16.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1$

Etapa 2.1.16.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.16.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Etapa 2.1.16.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Etapa 2.1.16.1.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Etapa 2.1.16.1.3.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

Etapa 2.1.16.1.3.5

Subtraia $3$ de $1$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Etapa 2.1.16.1.3.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Etapa 2.1.16.1.3.7

Some $- 2$ e $3$ .

$1 - 1$

Etapa 2.1.16.1.3.8

Subtraia $1$ de $1$ .

$0$

Etapa 2.1.16.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Etapa 2.1.16.1.5

Divida $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ por $x - 1$ .

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Etapa 2.1.16.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Etapa 2.1.16.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Etapa 2.1.16.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.1.16.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.1.16.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Etapa 2.1.16.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 2.1.16.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 2.1.16.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 2.1.16.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 2.1.16.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

Etapa 2.1.16.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 2.1.16.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 2.1.16.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 2.1.16.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 1$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Etapa 2.1.16.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Etapa 2.1.16.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 2 x + 1$

Etapa 2.1.16.1.6

Escreva $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ como um conjunto de fatores.

$(x^{2} + 16) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1)) = 0$

Etapa 2.1.16.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1.16.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{2} + 16) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2})) = 0$

Etapa 2.1.16.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 2.1.16.2.3

Reescreva o polinômio.

$(x^{2} + 16) ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Etapa 2.1.16.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x^{2} + 16) ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

Etapa 2.1.16.3

Combine como fatores.

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Etapa 2.1.16.3.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$(x^{2} + 16) ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

Etapa 2.1.16.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x^{2} + 16) {(x - 1)}^{1 + 2} = 0$

Etapa 2.1.16.3.3

Some $1$ e $2$ .

$(x^{2} + 16) {(x - 1)}^{3} = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 16 = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2} + 16$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x^{2} + 16$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 16 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} + 16 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 16$

Etapa 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Etapa 2.3.2.3.1

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Etapa 2.3.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Etapa 2.3.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Etapa 2.3.2.3.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Etapa 2.3.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 4$

Etapa 2.3.2.3.6

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 4 i$

Etapa 2.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4 i$

Etapa 2.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4 i$

Etapa 2.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4 i, - 4 i$

Etapa 2.4

Defina ${(x - 1)}^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina ${(x - 1)}^{3}$ como igual a $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva ${(x - 1)}^{3} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 16) {(x - 1)}^{3} = 0$ verdadeiro.

$x = 4 i, - 4 i, 1$

Etapa 3