Pré-cálculo Exemplos

$2 x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + 9 x + 27 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os termos.

$- x^{3} + 9 x + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $- x$ de $- x^{3} + 9 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $- x$ de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 9 x + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $- x$ de $9 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 9 + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $- x$ de $- x (x^{2}) - x (- 9)$ .

$- x (x^{2} - 9) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- x (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Etapa 1.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$- x ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Etapa 1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Etapa 1.5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 {(x^{2})}^{2} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Etapa 1.6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 21 u + 27 = 0$

Etapa 1.7

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 27 = 54$ e cuja soma é $b = - 21$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Fatore $- 21$ de $- 21 u$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 21 u + 27 = 0$

Etapa 1.7.1.2

Reescreva $- 21$ como $- 3$ mais $- 18$

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} + (- 3 - 18) u + 27 = 0$

Etapa 1.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 3 u - 18 u + 27 = 0$

Etapa 1.7.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 3 u - 18 u + 27 = 0$

Etapa 1.7.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- x (x + 3) (x - 3) + u (2 u - 3) - 9 (2 u - 3) = 0$

Etapa 1.7.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 3$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 u - 3) (u - 9) = 0$

Etapa 1.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x^{2} - 9) = 0$

Etapa 1.9

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Etapa 1.10

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Etapa 1.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 1.11

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.1

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $- x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 1.11.2

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $(2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 1.11.3

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x + 2 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 1.12

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (- u + 2 u^{2} - 3) = 0$

Etapa 1.13

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.13.1

Reordene os termos.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - u - 3) = 0$

Etapa 1.13.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.13.2.1

Fatore $- 1$ de $- u$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - (u) - 3) = 0$

Etapa 1.13.2.2

Reescreva $- 1$ como $2$ mais $- 3$

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + (2 - 3) u - 3) = 0$

Etapa 1.13.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + 2 u - 3 u - 3) = 0$

Etapa 1.13.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.13.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 3) (x - 3) ((2 u^{2} + 2 u) - 3 u - 3) = 0$

Etapa 1.13.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 3) (x - 3) (2 u (u + 1) - 3 (u + 1)) = 0$

Etapa 1.13.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $u + 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((u + 1) (2 u - 3)) = 0$

Etapa 1.14

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.14.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x + 1) (2 x - 3)) = 0$

Etapa 1.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 3) (x - 3) (x + 1) (2 x - 3) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Etapa 3

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $2 x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x = 3$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x - 3) (x + 1) (2 x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 3, - 1, \frac{3}{2}$

Etapa 8