Pré-cálculo Exemplos

$5 \cot^{2} (x) - 15 = 0$

Etapa 1

Some $15$ aos dois lados da equação.

$5 \cot^{2} (x) = 15$

Etapa 2

Divida cada termo em $5 \cot^{2} (x) = 15$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $5 \cot^{2} (x) = 15$ por $5$ .

$\frac{5 \cot^{2} (x)}{5} = \frac{15}{5}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cot^{2} (x)}{5} = \frac{15}{5}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $\cot^{2} (x)$ por $1$ .

$\cot^{2} (x) = \frac{15}{5}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida $15$ por $5$ .

$\cot^{2} (x) = 3$

Etapa 3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

Etapa 4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

Etapa 4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Etapa 4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 5

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Etapa 6

Resolva $x$ em $\cot (x) = \sqrt{3}$ .

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Etapa 6.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1

O valor exato de $arccot (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 6.3

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{6}$

Etapa 6.4

Simplifique $π + \frac{π}{6}$ .

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Etapa 6.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 6.4.2

Combine frações.

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Etapa 6.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 6.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Etapa 6.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Etapa 6.4.3.2

Some $6 π$ e $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 6.5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 6.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 6.6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Resolva $x$ em $\cot (x) = - \sqrt{3}$ .

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Etapa 7.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (- \sqrt{3})$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.1

O valor exato de $arccot (- \sqrt{3})$ é $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.3

A função da cotangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 7.4.1

Some $2 π$ a $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

Etapa 7.4.2

O ângulo resultante de $\frac{11 π}{6}$ é positivo e coterminal com $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 7.5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 7.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 7.6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as soluções.

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Etapa 9.1

Consolide $\frac{π}{6} + π n$ e $\frac{7 π}{6} + π n$ em $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9.2

Consolide $\frac{5 π}{6} + π n$ e $\frac{11 π}{6} + π n$ em $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10