Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = - \cos (2 x) + \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Defina $- \cos (2 x) + \cos^{2} (x)$ como igual a $0$ .

$- \cos (2 x) + \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique $- (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x)$ .

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Etapa 2.2.1.1

Simplifique os termos.

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Etapa 2.2.1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.1.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.1.1.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 1 + 2 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.1.1.2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.2.1.1.2.1

Mova $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 + \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.1.1.2.3

Fatore $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.1.1.2.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.1.1.2.5

Reescreva $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2.1.3

Some $- \sin^{2} (x)$ e $2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.3.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sin (x) = \pm 0$

Etapa 2.3.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 2.3.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 2.3.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.4.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.3.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 2.3.6

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 2.3.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.3.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.3.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.3.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.3.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.3.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.4

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3