Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{4} - 15 x^{3} + 23 x^{2} + 15 x - 25$

Etapa 1

Defina $2 x^{4} - 15 x^{3} + 23 x^{2} + 15 x - 25$ como igual a $0$ .

$2 x^{4} - 15 x^{3} + 23 x^{2} + 15 x - 25 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- 15 x^{3} + 15 x + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- 15 x$ de $- 15 x^{3} + 15 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $- 15 x$ de $- 15 x^{3}$ .

$- 15 x \cdot x^{2} + 15 x + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- 15 x$ de $15 x$ .

$- 15 x \cdot x^{2} - 15 x \cdot - 1 + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- 15 x$ de $- 15 x (x^{2}) - 15 x (- 1)$ .

$- 15 x (x^{2} - 1) + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- 15 x (x^{2} - 1^{2}) + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$- 15 x ((x + 1) (x - 1)) + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2.1.5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 {(x^{2})}^{2} + 23 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2.1.6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + 23 u - 25 = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ e cuja soma é $b = 23$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1.1

Fatore $23$ de $23 u$ .

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + 23 (u) - 25 = 0$

Etapa 2.1.7.1.2

Reescreva $23$ como $- 2$ mais $25$

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + (- 2 + 25) u - 25 = 0$

Etapa 2.1.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} - 2 u + 25 u - 25 = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} - 2 u + 25 u - 25 = 0$

Etapa 2.1.7.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u (u - 1) + 25 (u - 1) = 0$

Etapa 2.1.7.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $u - 1$ .

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (2 u + 25) = 0$

Etapa 2.1.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (2 x^{2} + 25) = 0$

Etapa 2.1.9

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (2 x^{2} + 25) = 0$

Etapa 2.1.10

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 25) = 0$

Etapa 2.1.11

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $- 15 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 25)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.1

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $- 15 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 15 x) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 25) = 0$

Etapa 2.1.11.2

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (- 15 x) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 25)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 15 x + 2 x^{2} + 25) = 0$

Etapa 2.1.12

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 15 u + 2 u^{2} + 25) = 0$

Etapa 2.1.13

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.13.1

Reordene os termos.

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 15 u + 25) = 0$

Etapa 2.1.13.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ e cuja soma é $b = - 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.13.2.1

Fatore $- 15$ de $- 15 u$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 15 u + 25) = 0$

Etapa 2.1.13.2.2

Reescreva $- 15$ como $- 5$ mais $- 10$

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} + (- 5 - 10) u + 25) = 0$

Etapa 2.1.13.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 5 u - 10 u + 25) = 0$

Etapa 2.1.13.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.13.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 1) (x - 1) ((2 u^{2} - 5 u) - 10 u + 25) = 0$

Etapa 2.1.13.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 1) (x - 1) (u (2 u - 5) - 5 (2 u - 5)) = 0$

Etapa 2.1.13.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 5$ .

$(x + 1) (x - 1) ((2 u - 5) (u - 5)) = 0$

Etapa 2.1.14

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.14.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((2 x - 5) (x - 5)) = 0$

Etapa 2.1.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (x - 1) (2 x - 5) (x - 5) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

Defina $2 x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $2 x - 5$ como igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $2 x - 5 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$2 x = 5$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 2.6

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x - 1) (2 x - 5) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1, \frac{5}{2}, 5$

Etapa 3