Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2} - 7 x - 6$

Etapa 1

Defina $3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2} - 7 x - 6$ como igual a $0$ .

$3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2} - 7 x - 6 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- 7 x^{3} - 7 x + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- 7 x$ de $- 7 x^{3} - 7 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $- 7 x$ de $- 7 x^{3}$ .

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- 7 x$ de $- 7 x$ .

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot 1 + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- 7 x$ de $- 7 x (x^{2}) - 7 x (1)$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $3$ de $3 x^{4} - 3 x^{2} - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Fatore $3$ de $3 x^{4}$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4}) - 3 x^{2} - 6 = 0$

Etapa 2.1.3.2

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4}) + 3 (- x^{2}) - 6 = 0$

Etapa 2.1.3.3

Fatore $3$ de $- 6$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4}) + 3 (- x^{2}) + 3 (- 2) = 0$

Etapa 2.1.3.4

Fatore $3$ de $3 (x^{4}) + 3 (- x^{2})$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4} - x^{2}) + 3 (- 2) = 0$

Etapa 2.1.3.5

Fatore $3$ de $3 (x^{4} - x^{2}) + 3 (- 2)$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4} - x^{2} - 2) = 0$

Etapa 2.1.4

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 2) = 0$

Etapa 2.1.5

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (u^{2} - u - 2) = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore $u^{2} - u - 2$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 2.1.6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 ((x^{2} - 2) (x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Etapa 2.1.8

Fatore $x^{2} + 1$ de $- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)$ .

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Etapa 2.1.8.1

Fatore $x^{2} + 1$ de $- 7 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 7 x) + 3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Etapa 2.1.8.2

Fatore $x^{2} + 1$ de $3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 7 x) + (x^{2} + 1) (3 (x^{2} - 2)) = 0$

Etapa 2.1.8.3

Fatore $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (- 7 x) + (x^{2} + 1) (3 (x^{2} - 2))$ .

$(x^{2} + 1) (- 7 x + 3 (x^{2} - 2)) = 0$

Etapa 2.1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} + 1) (- 7 x + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2) = 0$

Etapa 2.1.10

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$(x^{2} + 1) (- 7 x + 3 x^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.1.11

Reordene os termos.

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 7 x - 6) = 0$

Etapa 2.1.12

Fatore.

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Etapa 2.1.12.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.12.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ e cuja soma é $b = - 7$ .

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Etapa 2.1.12.1.1.1

Fatore $- 7$ de $- 7 x$ .

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 7 x - 6) = 0$

Etapa 2.1.12.1.1.2

Reescreva $- 7$ como $2$ mais $- 9$

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} + (2 - 9) x - 6) = 0$

Etapa 2.1.12.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 2 x - 9 x - 6) = 0$

Etapa 2.1.12.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.12.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{2} + 1) ((3 x^{2} + 2 x) - 9 x - 6) = 0$

Etapa 2.1.12.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x^{2} + 1) (x (3 x + 2) - 3 (3 x + 2)) = 0$

Etapa 2.1.12.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 2$ .

$(x^{2} + 1) ((3 x + 2) (x - 3)) = 0$

Etapa 2.1.12.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 1) (3 x + 2) (x - 3) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$3 x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 2.3.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 2.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 2.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 2.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 2.4

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $3 x + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 1) (3 x + 2) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = i, - i, - \frac{2}{3}, 3$

Etapa 3