Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} + 10 x^{2} + 6 x + 9$

Etapa 1

Defina $x^{4} + 6 x^{3} + 10 x^{2} + 6 x + 9$ como igual a $0$ .

$x^{4} + 6 x^{3} + 10 x^{2} + 6 x + 9 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$6 x^{3} + 6 x + x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $6 x$ de $6 x^{3} + 6 x$ .

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $6 x$ de $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x + x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $6 x$ de $6 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (1) + x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $6 x$ de $6 x (x^{2}) + 6 x (1)$ .

$6 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 10 x^{2} + 9 = 0$

Etapa 2.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 10 u + 9 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $u^{2} + 10 u + 9$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $9$ e cuja soma é $10$ .

$1, 9$

Etapa 2.1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 9) = 0$

Etapa 2.1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $x^{2} + 1$ de $6 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9)$ .

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Etapa 2.1.7.1

Fatore $x^{2} + 1$ de $6 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (6 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (6 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 1) (6 x + x^{2} + 9) = 0$

Etapa 2.1.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} + 1) (6 u + u^{2} + 9) = 0$

Etapa 2.1.9

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1.9.1

Reorganize os termos.

$(x^{2} + 1) (u^{2} + 6 u + 9) = 0$

Etapa 2.1.9.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (u^{2} + 6 u + 3^{2}) = 0$

Etapa 2.1.9.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Etapa 2.1.9.4

Reescreva o polinômio.

$(x^{2} + 1) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Etapa 2.1.9.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 3$ .

$(x^{2} + 1) {(u + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.1.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} + 1) {(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 2.3.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 2.3.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 2.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 2.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 2.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 2.4

Defina ${(x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina ${(x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva ${(x + 3)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 1) {(x + 3)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = i, - i, - 3$

Etapa 3