Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$

Etapa 1

Defina $x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ como igual a $0$ .

$x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x^{3}$ de $x^{4} - x^{3}$ .

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$x^{3} x - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 - 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ .

$x^{3} (x - 1) - 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 3 \cdot - 2 = 6$ e cuja soma é $b = 5$ .

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Etapa 2.1.3.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$x^{3} (x - 1) - 3 x^{2} + 5 (x) - 2 = 0$

Etapa 2.1.3.1.2

Reescreva $5$ como $2$ mais $3$

$x^{3} (x - 1) - 3 x^{2} + (2 + 3) x - 2 = 0$

Etapa 2.1.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} (x - 1) - 3 x^{2} + 2 x + 3 x - 2 = 0$

Etapa 2.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x^{3} (x - 1) - 3 x^{2} + 2 x + 3 x - 2 = 0$

Etapa 2.1.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{3} (x - 1) + x (- 3 x + 2) - (- 3 x + 2) = 0$

Etapa 2.1.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 3 x + 2$ .

$x^{3} (x - 1) + (- 3 x + 2) (x - 1) = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $x - 1$ de $x^{3} (x - 1) + (- 3 x + 2) (x - 1)$ .

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Etapa 2.1.4.1

Fatore $x - 1$ de $x^{3} (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (- 3 x + 2) (x - 1) = 0$

Etapa 2.1.4.2

Fatore $x - 1$ de $(- 3 x + 2) (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 3 x + 2) = 0$

Etapa 2.1.4.3

Fatore $x - 1$ de $(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 3 x + 2)$ .

$(x - 1) (x^{3} - 3 x + 2) = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore.

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Etapa 2.1.5.1

Reescreva $x^{3} - 3 x + 2$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.1.5.1.1

Fatore $x^{3} - 3 x + 2$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.5.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.5.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Etapa 2.1.5.1.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.5.1.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$

Etapa 2.1.5.1.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 2$

Etapa 2.1.5.1.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$1 - 3 + 2$

Etapa 2.1.5.1.1.3.4

Subtraia $3$ de $1$ .

$- 2 + 2$

Etapa 2.1.5.1.1.3.5

Some $- 2$ e $2$ .

$0$

Etapa 2.1.5.1.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x + 2}{x - 1}$

Etapa 2.1.5.1.1.5

Divida $x^{3} - 3 x + 2$ por $x - 1$ .

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Etapa 2.1.5.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Etapa 2.1.5.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Etapa 2.1.5.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.1.5.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.1.5.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Etapa 2.1.5.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 2.1.5.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 2.1.5.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 2.1.5.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.1.5.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Etapa 2.1.5.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Etapa 2.1.5.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Etapa 2.1.5.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Etapa 2.1.5.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x + 2$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Etapa 2.1.5.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

Etapa 2.1.5.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + x - 2$

Etapa 2.1.5.1.1.6

Escreva $x^{3} - 3 x + 2$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) ((x - 1) (x^{2} + x - 2)) = 0$

Etapa 2.1.5.1.2

Fatore $x^{2} + x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.5.1.2.1

Fatore $x^{2} + x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.5.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 2.1.5.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 1) ((x - 1) ((x - 1) (x + 2))) = 0$

Etapa 2.1.5.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Etapa 2.1.5.1.3

Combine como fatores.

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Etapa 2.1.5.1.3.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$(x - 1) ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Etapa 2.1.5.1.3.2

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$(x - 1) ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Etapa 2.1.5.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x - 1) ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)) = 0$

Etapa 2.1.5.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$(x - 1) ({(x - 1)}^{2} (x + 2)) = 0$

Etapa 2.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$

Etapa 2.1.6

Multiplique $x - 1$ por ${(x - 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.6.1

Multiplique $x - 1$ por ${(x - 1)}^{2}$ .

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Etapa 2.1.6.1.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$(x - 1) {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$

Etapa 2.1.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x - 1)}^{1 + 2} (x + 2) = 0$

Etapa 2.1.6.2

Some $1$ e $2$ .

${(x - 1)}^{3} (x + 2) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 2.3

Defina ${(x - 1)}^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina ${(x - 1)}^{3}$ como igual a $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva ${(x - 1)}^{3} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x - 1)}^{3} (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 2$

Etapa 3