Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 51$

Etapa 1

Defina $x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 51$ como igual a $0$ .

$x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 51 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 51$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 51, \pm 3, \pm 17$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 51, \pm 3, \pm 17$

Etapa 2.1.3

Substitua $- 3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.3.1

Substitua $- 3$ no polinômio.

${(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 + 51$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- 27 - 5 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 + 51$

Etapa 2.1.3.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- 27 - 5 \cdot 9 - 7 \cdot - 3 + 51$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $- 5$ por $9$ .

$- 27 - 45 - 7 \cdot - 3 + 51$

Etapa 2.1.3.5

Subtraia $45$ de $- 27$ .

$- 72 - 7 \cdot - 3 + 51$

Etapa 2.1.3.6

Multiplique $- 7$ por $- 3$ .

$- 72 + 21 + 51$

Etapa 2.1.3.7

Some $- 72$ e $21$ .

$- 51 + 51$

Etapa 2.1.3.8

Some $- 51$ e $51$ .

$0$

Etapa 2.1.4

Como $- 3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 51}{x + 3}$

Etapa 2.1.5

Divida $x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 51$ por $x + 3$ .

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Etapa 2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$7 x$

$51$

Etapa 2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Etapa 2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$

Etapa 2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 8 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$

Etapa 2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$24 x$

Etapa 2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 8 x^{2} - 24 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Etapa 2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$17 x$

Etapa 2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$17 x$	+	$51$

Etapa 2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $17 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$17$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$17 x$	+	$51$

Etapa 2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$17$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$17 x$	+	$51$
							+	$17 x$	+	$51$

Etapa 2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $17 x + 51$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$17$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$17 x$	+	$51$
							-	$17 x$	-	$51$

Etapa 2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$17$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$17 x$	+	$51$
							-	$17 x$	-	$51$
										$0$

Etapa 2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 8 x + 17$

Etapa 2.1.6

Escreva $x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 51$ como um conjunto de fatores.

$(x + 3) (x^{2} - 8 x + 17) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x^{2} - 8 x + 17 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.4

Defina $x^{2} - 8 x + 17$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2} - 8 x + 17$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 8 x + 17 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} - 8 x + 17 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 8$ e $c = 17$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 17)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.2.3.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

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Etapa 2.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $17$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.3

Subtraia $68$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i}{2}$

Etapa 2.4.2.3.3

Simplifique $\frac{8 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 4 \pm i$

Etapa 2.4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 4 + i, 4 - i$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x^{2} - 8 x + 17) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 4 + i, 4 - i$

Etapa 3