Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$

Etapa 1

Defina $x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$ como igual a $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- 2 x^{3} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x^{3} + 18 x$ .

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- 2 x$ de $18 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 9)$ .

$- 2 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore.

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Etapa 2.1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$- 2 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Etapa 2.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Etapa 2.1.5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Etapa 2.1.6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 15 u + 54 = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $u^{2} - 15 u + 54$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $54$ e cuja soma é $- 15$ .

$- 9, - 6$

Etapa 2.1.7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 6) = 0$

Etapa 2.1.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.1.9

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.1.10

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.1.11

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ .

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Etapa 2.1.11.1

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $- 2 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.1.11.2

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x + x^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.1.12

Reordene os termos.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} - 2 x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} - 2 x - 6$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} - 2 x - 6 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 6$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.2.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Etapa 2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.3

Some $4$ e $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Etapa 2.5.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Etapa 2.5.2.3.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{7}$

Etapa 2.5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Forma decimal:

$x = - 3, 3, 3.64575131 \dots, - 1.64575131 \dots$

Etapa 4