Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$

Etapa 1

Defina $x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$ como igual a $0$ .

$x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$x^{5} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x$ de $x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $x$ de $- 3 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.1.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.1.2.5

Fatore $x$ de $x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4$ .

$x (x^{4} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (u^{2} - 3 u - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $u^{2} - 3 u - 4$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 4, 1$

Etapa 2.1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((u - 4) (u + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.1.8

Fatore.

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Etapa 2.1.8.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.1.8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.1.9

Fatore $3$ de $- 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12$ .

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Etapa 2.1.9.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{4}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 9 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.1.9.2

Fatore $3$ de $9 x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 12 = 0$

Etapa 2.1.9.3

Fatore $3$ de $12$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

Etapa 2.1.9.4

Fatore $3$ de $3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2})$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

Etapa 2.1.9.5

Fatore $3$ de $3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4)$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 2.1.10

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 2.1.11

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 u + 4) = 0$

Etapa 2.1.12

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.12.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 2.1.12.1.1

Fatore $3$ de $3 u$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 (u) + 4) = 0$

Etapa 2.1.12.1.2

Reescreva $3$ como $- 1$ mais $4$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + (- 1 + 4) u + 4) = 0$

Etapa 2.1.12.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} - 1 u + 4 u + 4) = 0$

Etapa 2.1.12.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.12.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u^{2} - 1 u) + 4 u + 4) = 0$

Etapa 2.1.12.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (u (- u - 1) - 4 (- u - 1)) = 0$

Etapa 2.1.12.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 1$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u - 1) (u - 4)) = 0$

Etapa 2.1.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

Etapa 2.1.14

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Etapa 2.1.15

Fatore.

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Etapa 2.1.15.1

Fatore.

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Etapa 2.1.15.1.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Etapa 2.1.15.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 2.1.15.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 2.1.16

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ .

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Etapa 2.1.16.1

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 2.1.16.2

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 2.1.16.3

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1))$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 2.1.17

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 2.1.18

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.18.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.1.18.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 2.1.18.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 2.1.18.2

Some $1$ e $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 2.1.19

Multiplique $x$ por $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 2.1.20

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1) = 0$

Etapa 2.1.21

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1) = 0$

Etapa 2.1.22

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 2.1.23

Reordene os termos.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + x - 3) = 0$

Etapa 2.1.24

Fatore.

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Etapa 2.1.24.1

Reescreva $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.1.24.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.24.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - 3 x^{2}) + x - 3) = 0$

Etapa 2.1.24.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 3) + 1 (x - 3)) = 0$

Etapa 2.1.24.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 3$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 2.1.24.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.6

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2.6.2

Resolva $x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 2.6.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 2.6.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.6.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 2.6.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 2.6.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2, 3, i, - i$

Etapa 3