Pré-cálculo Exemplos

$\sin (x) \tan^{2} (x) = \sin (x)$

Etapa 1

Subtraia $\sin (x)$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) \tan^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 2

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) \tan^{2} (x) - \sin (x)$ .

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Etapa 2.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) \tan^{2} (x)$ .

$\sin (x) (\tan^{2} (x)) - \sin (x) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (\tan^{2} (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Etapa 2.3

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) (\tan^{2} (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (\tan^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\sin (x) (\tan^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Etapa 4

Fatore.

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Etapa 4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \tan (x)$ e $b = 1$ .

$\sin (x) ((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)) = 0$

Etapa 4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\sin (x) (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

Etapa 6

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 6.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 6.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Defina $\tan (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $\tan (x) + 1$ como igual a $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $\tan (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\tan (x) = - 1$

Etapa 7.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.4

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 7.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 7.2.5.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 7.2.5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 7.2.6

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 7.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 7.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 7.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 7.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 7.2.7

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 7.2.7.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 7.2.7.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.7.3

Combine frações.

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Etapa 7.2.7.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 7.2.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.7.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 7.2.7.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 7.2.7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 7.2.8

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Defina $\tan (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $\tan (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Etapa 8.2

Resolva $\tan (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 8.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\tan (x) = 1$

Etapa 8.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (1)$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 8.2.4

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 8.2.5

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 8.2.5.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 8.2.5.2

Combine frações.

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Etapa 8.2.5.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 8.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 8.2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.5.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 8.2.5.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 8.2.6

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 8.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 8.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 8.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 8.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 8.2.7

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $\sin (x) (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Consolide as respostas.

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Etapa 10.1

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$x = π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.2

Consolide $\frac{3 π}{4} + π n$ e $\frac{π}{4} + π n$ em $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.3

Consolide $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ em $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$