Pré-cálculo Exemplos

$\ln (x) + \ln (x + 10) = 4$

Etapa 1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$\ln (x) + \ln (x + 10) - 4 = 0$

Etapa 2

Simplifique $\ln (x) + \ln (x + 10) - 4$ .

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Etapa 2.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 10)) - 4 = 0$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 10) - 4 = 0$

Etapa 2.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 10) - 4 = 0$

Etapa 2.2.3

Mova $10$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (x^{2} + 10 x) - 4 = 0$

Etapa 3

Some $4$ aos dois lados da equação.

$\ln (x^{2} + 10 x) = 4$

Etapa 4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} + 10 x)} = e^{4}$

Etapa 5

Reescreva $\ln (x^{2} + 10 x) = 4$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4} = x^{2} + 10 x$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $x^{2} + 10 x = e^{4}$ .

$x^{2} + 10 x = e^{4}$

Etapa 6.2

Subtraia $e^{4}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 10 x - e^{4} = 0$

Etapa 6.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 10$ e $c = - e^{4}$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{4}))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5

Simplifique.

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Etapa 6.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.5.1.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 6.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.3

Reescreva $100 + 4 e^{4}$ como $2^{2} (25 + e^{4})$ .

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Etapa 6.5.1.3.1

Fatore $4$ de $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.3.2

Fatore $4$ de $4 e^{4}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.3.3

Fatore $4$ de $4 (25) + 4 (e^{4})$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2}$

Etapa 6.5.3

Simplifique $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2}$ .

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{4}}$

Etapa 6.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 6.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.6.1.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 6.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.3

Reescreva $100 + 4 e^{4}$ como $2^{2} (25 + e^{4})$ .

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Etapa 6.6.1.3.1

Fatore $4$ de $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.3.2

Fatore $4$ de $4 e^{4}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.3.3

Fatore $4$ de $4 (25) + 4 (e^{4})$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2}$

Etapa 6.6.3

Simplifique $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2}$ .

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{4}}$

Etapa 6.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{4}}$

Etapa 6.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 6.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.7.1.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 6.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.3

Reescreva $100 + 4 e^{4}$ como $2^{2} (25 + e^{4})$ .

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Etapa 6.7.1.3.1

Fatore $4$ de $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.3.2

Fatore $4$ de $4 e^{4}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.3.3

Fatore $4$ de $4 (25) + 4 (e^{4})$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2}$

Etapa 6.7.3

Simplifique $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2}$ .

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{4}}$

Etapa 6.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - 5 - \sqrt{25 + e^{4}}$

Etapa 6.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{4}}, - 5 - \sqrt{25 + e^{4}}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{4}}, - 5 - \sqrt{25 + e^{4}}$

Forma decimal:

$x = 3.92177953 \dots, - 13.92177953 \dots$