Pré-cálculo Exemplos

$\ln (x + 1) - \ln (x) = 2$

Etapa 1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\ln (x + 1) - \ln (x) - 2 = 0$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 1}{x}) - 2 = 0$

Etapa 3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\ln (\frac{x + 1}{x}) = 2$

Etapa 4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{x + 1}{x})} = e^{2}$

Etapa 5

Reescreva $\ln (\frac{x + 1}{x}) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = \frac{x + 1}{x}$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x} = e^{2}$

Etapa 6.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 6.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, 1$

Etapa 6.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 6.3

Multiplique cada termo em $\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 6.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ por $x$ .

$\frac{x + 1}{x} x = e^{2} x$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x + 1}{x} x = e^{2} x$

Etapa 6.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$x + 1 = e^{2} x$

Etapa 6.4

Resolva a equação.

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Etapa 6.4.1

Subtraia $e^{2} x$ dos dois lados da equação.

$x + 1 - e^{2} x = 0$

Etapa 6.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x - e^{2} x = - 1$

Etapa 6.4.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.4.3.1

Fatore $x$ de $x - e^{2} x$ .

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Etapa 6.4.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x - e^{2} x = - 1$

Etapa 6.4.3.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{2} x = - 1$

Etapa 6.4.3.1.3

Fatore $x$ de $- e^{2} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{2}) = - 1$

Etapa 6.4.3.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- e^{2})$ .

$x (1 - e^{2}) = - 1$

Etapa 6.4.3.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x (1^{2} - e^{2}) = - 1$

Etapa 6.4.3.3

Fatore.

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Etapa 6.4.3.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e)) = - 1$

Etapa 6.4.3.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (1 + e) (1 - e) = - 1$

Etapa 6.4.4

Divida cada termo em $x (1 + e) (1 - e) = - 1$ por $1 - e^{2}$ e simplifique.

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Etapa 6.4.4.1

Divida cada termo em $x (1 + e) (1 - e) = - 1$ por $1 - e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1 - e^{2}} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Etapa 6.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.4.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.4.2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1^{2} - e^{2}} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Etapa 6.4.4.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Etapa 6.4.4.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.4.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $1 + e$ .

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Etapa 6.4.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Etapa 6.4.4.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Etapa 6.4.4.2.2.2

Cancele o fator comum de $1 - e$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Etapa 6.4.4.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Etapa 6.4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.4.4.3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.4.3.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x = \frac{- 1}{1^{2} - e^{2}}$

Etapa 6.4.4.3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = e$ .

$x = \frac{- 1}{(1 + e) (1 - e)}$

Etapa 6.4.4.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{(1 + e) (1 - e)}$