Pré-cálculo Exemplos

$\ln (x - 1) + \ln (x + 2) = 1$

Etapa 1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\ln (x - 1) + \ln (x + 2) - 1 = 0$

Etapa 2

Simplifique $\ln (x - 1) + \ln (x + 2) - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 1) (x + 2)) - 1 = 0$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Expanda $(x - 1) (x + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x (x + 2) - 1 (x + 2)) - 1 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)) - 1 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

Etapa 2.2.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\ln (x^{2} + 2 x - x - 2) - 1 = 0$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$\ln (x^{2} + x - 2) - 1 = 0$

Etapa 3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\ln (x^{2} + x - 2) = 1$

Etapa 4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} + x - 2)} = e^{1}$

Etapa 5

Reescreva $\ln (x^{2} + x - 2) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2} + x - 2$

Etapa 6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $x^{2} + x - 2 = e^{1}$ .

$x^{2} + x - 2 = e$

Etapa 6.2

Subtraia $e$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + x - 2 - e = 0$

Etapa 6.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = - 2 - e$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 - e))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.6

Some $1$ e $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Etapa 6.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.6

Some $1$ e $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Etapa 6.6.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Etapa 6.6.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Etapa 6.6.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{9 + 4 e}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{9 + 4 e})}{2}$

Etapa 6.6.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{9 + 4 e})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{9 + 4 e})}{2}$

Etapa 6.6.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Etapa 6.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.6

Some $1$ e $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Etapa 6.7.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Etapa 6.7.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Etapa 6.7.5

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{9 + 4 e}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{9 + 4 e})}{2}$

Etapa 6.7.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (\sqrt{9 + 4 e})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{9 + 4 e})}{2}$

Etapa 6.7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Etapa 6.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Forma decimal:

$x = 1.72896429 \dots, - 2.72896429 \dots$