Pré-cálculo Exemplos

$\cos (2 x) + \cos (4 x) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (4 x) = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore $2$ de $4 x$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (2 (2 x)) = 0$

Etapa 1.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2} - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.2

Reescreva ${(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$ como $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 ((2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.3

Expanda $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.2

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos^{2} (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1.2.1

Mova $\cos^{2} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x))) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 {\cos (x)}^{2 + 2}) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 \cos^{4} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1) - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.4.2

Subtraia $2 \cos^{2} (x)$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.6.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.6.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 - 1 = 0$

Etapa 1.1.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Etapa 1.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine os termos opostos em $2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Some $- 1$ e $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + 0 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 1.2.1.2

Some $2 \cos^{2} (x)$ e $0$ .

$2 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $8 \cos^{2} (x)$ de $2 \cos^{2} (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) = 0$

Etapa 2

Fatore $2 \cos^{2} (x)$ de $- 6 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $2 \cos^{2} (x)$ de $- 6 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 8 \cos^{4} (x) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $2 \cos^{2} (x)$ de $8 \cos^{4} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 2 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.3

Fatore $2 \cos^{2} (x)$ de $2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 2 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x))$ .

$2 \cos^{2} (x) (- 3 + 4 \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 4

Defina $\cos^{2} (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $\cos^{2} (x)$ como igual a $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\cos^{2} (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Etapa 4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\cos (x) = \pm 0$

Etapa 4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 4.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 4.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.6

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.6.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.2.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 4.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $- 3 + 4 \cos^{2} (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $- 3 + 4 \cos^{2} (x)$ como igual a $0$ .

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$4 \cos^{2} (x) = 3$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $4 \cos^{2} (x) = 3$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $4 \cos^{2} (x) = 3$ por $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Etapa 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 5.2.4.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 5.2.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2.6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2.7

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 5.2.7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 5.2.7.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Etapa 5.2.7.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 5.2.7.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 5.2.7.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 5.2.7.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.4.3.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Etapa 5.2.7.4.3.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 5.2.7.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.7.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.7.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.8

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 5.2.8.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 5.2.8.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Etapa 5.2.8.4

Simplifique $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Etapa 5.2.8.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Etapa 5.2.8.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Etapa 5.2.8.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.4.3.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Etapa 5.2.8.4.3.2

Subtraia $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 5.2.8.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.8.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.8.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.9

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.10

Consolide as soluções.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.10.1

Consolide $\frac{π}{6} + 2 π n$ e $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ em $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.10.2

Consolide $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ e $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ em $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $2 \cos^{2} (x) (- 3 + 4 \cos^{2} (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide as respostas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Consolide $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ em $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7.2

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$