Pré-cálculo Exemplos

$\tan^{2} (3 x) = \sqrt{1}$

Etapa 1

Subtraia $\sqrt{1}$ dos dois lados da equação.

$\tan^{2} (3 x) - \sqrt{1} = 0$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1 = 0$

Etapa 3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1^{2} = 0$

Etapa 4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \tan (3 x)$ e $b = 1$ .

$(\tan (3 x) + 1) (\tan (3 x) - 1) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\tan (3 x) + 1 = 0$

$\tan (3 x) - 1 = 0$

Etapa 6

Defina $\tan (3 x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $\tan (3 x) + 1$ como igual a $0$ .

$\tan (3 x) + 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\tan (3 x) + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\tan (3 x) = - 1$

Etapa 6.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$3 x = \arctan (- 1)$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$3 x = - \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.4

Divida cada termo em $3 x = - \frac{π}{4}$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Divida cada termo em $3 x = - \frac{π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Etapa 6.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Etapa 6.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Etapa 6.2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 6.2.4.3.2

Multiplique $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 4}$

Etapa 6.2.4.3.2.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Etapa 6.2.5

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$3 x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 6.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.6.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$3 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 6.2.6.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 6.2.6.3

Divida cada termo em $3 x = \frac{3 π}{4}$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.6.3.1

Divida cada termo em $3 x = \frac{3 π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Etapa 6.2.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Etapa 6.2.6.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Etapa 6.2.6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.6.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 6.2.6.3.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.6.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 6.2.6.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 6.2.6.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.7

Encontre o período de $\tan (3 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 6.2.7.2

Substitua $b$ por $3$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 3 |}$

Etapa 6.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{π}{3}$

Etapa 6.2.8

Some $\frac{π}{3}$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.1

Some $\frac{π}{3}$ com $- \frac{π}{12}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{12} + \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.8.2

Para escrever $\frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{12}$

Etapa 6.2.8.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.3.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{12}$

Etapa 6.2.8.3.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{12}$

Etapa 6.2.8.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{12}$

Etapa 6.2.8.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.5.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{12}$

Etapa 6.2.8.5.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{12}$

Etapa 6.2.8.6

Cancele o fator comum de $3$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.6.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$\frac{3 (π)}{12}$

Etapa 6.2.8.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.6.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

Etapa 6.2.8.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

Etapa 6.2.8.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π}{4}$

Etapa 6.2.8.7

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.9

O período da função $\tan (3 x)$ é $\frac{π}{3}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{3}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Defina $\tan (3 x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina $\tan (3 x) - 1$ como igual a $0$ .

$\tan (3 x) - 1 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $\tan (3 x) - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\tan (3 x) = 1$

Etapa 7.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$3 x = \arctan (1)$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.4

Divida cada termo em $3 x = \frac{π}{4}$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Divida cada termo em $3 x = \frac{π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Etapa 7.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Etapa 7.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Etapa 7.2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 7.2.4.3.2

Multiplique $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

Etapa 7.2.4.3.2.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$x = \frac{π}{12}$

Etapa 7.2.5

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$3 x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.6.1.2

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.6.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 7.2.6.1.4

Some $π \cdot 4$ e $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.1.4.1

Reordene $π$ e $4$ .

$3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 7.2.6.1.4.2

Some $4 \cdot π$ e $π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Etapa 7.2.6.2

Divida cada termo em $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.2.1

Divida cada termo em $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Etapa 7.2.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Etapa 7.2.6.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Etapa 7.2.6.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 7.2.6.2.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Etapa 7.2.6.2.3.2.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Etapa 7.2.7

Encontre o período de $\tan (3 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 7.2.7.2

Substitua $b$ por $3$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 3 |}$

Etapa 7.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{π}{3}$

Etapa 7.2.8

O período da função $\tan (3 x)$ é $\frac{π}{3}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{3}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(\tan (3 x) + 1) (\tan (3 x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{6}$ , para qualquer número inteiro $n$