Pré-cálculo Exemplos

$\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) = 2$

Etapa 1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) - 2 = 0$

Etapa 2

Simplifique $\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) - 2$ .

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Etapa 2.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x + 4) (x - 4)) - 2 = 0$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Expanda $(x + 4) (x - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x (x - 4) + 4 (x - 4)) - 2 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) - 2 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Etapa 2.2.2

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Etapa 2.2.2.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 4$ e $4 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Etapa 2.2.2.2

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Etapa 2.2.2.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Etapa 2.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$\log_{5} (x^{2} - 16) - 2 = 0$

Etapa 3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\log_{5} (x^{2} - 16) = 2$

Etapa 4

Reescreva $\log_{5} (x^{2} - 16) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{2} = x^{2} - 16$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $x^{2} - 16 = 5^{2}$ .

$x^{2} - 16 = 5^{2}$

Etapa 5.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x^{2} - 16 = 25$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 25 + 16$

Etapa 5.3.2

Some $25$ e $16$ .

$x^{2} = 41$

Etapa 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{41}$

Etapa 5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{41}$

Etapa 5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{41}$

Etapa 5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{41}, - \sqrt{41}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \sqrt{41}, - \sqrt{41}$

Forma decimal:

$x = 6.40312423 \dots, - 6.40312423 \dots$