Pré-cálculo Exemplos

$25^{x} - 8 \cdot 5^{x} = - 16$

Etapa 1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$25^{x} - 8 \cdot 5^{x} + 16 = 0$

Etapa 2

Reescreva $25^{x}$ como ${(5^{2})}^{x}$ .

${(5^{2})}^{x} - 8 \cdot 5^{x} + 16 = 0$

Etapa 3

Reescreva ${(5^{2})}^{x}$ como ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} - 8 \cdot 5^{x} + 16 = 0$

Etapa 4

Deixe $u = 5^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $5^{x}$ .

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

Etapa 5

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

Etapa 5.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Etapa 5.3

Reescreva o polinômio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Etapa 5.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 4$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5^{x}$ .

${(5^{x} - 4)}^{2} = 0$

Etapa 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$5^{x} - 4 = \pm \sqrt{0}$

Etapa 8

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$5^{x} - 4 = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$5^{x} - 4 = \pm 0$

Etapa 8.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$5^{x} - 4 = 0$

Etapa 9

Some $4$ aos dois lados da equação.

$5^{x} = 4$

Etapa 10

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5^{x}) = \ln (4)$

Etapa 11

Expanda $\ln (5^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (5) = \ln (4)$

Etapa 12

Divida cada termo em $x \ln (5) = \ln (4)$ por $\ln (5)$ e simplifique.

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Etapa 12.1

Divida cada termo em $x \ln (5) = \ln (4)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Etapa 12.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 12.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (5)$ .

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Etapa 12.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Etapa 12.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$