Pré-cálculo Exemplos

$2 y^{2} - y - \frac{1}{2} = 0$

Etapa 1

Para escrever $2 y^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- y + 2 y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Etapa 2

Combine $2 y^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$- y + \frac{2 y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Etapa 3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- y + \frac{2 y^{2} \cdot 2 - 1}{2} = 0$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- y + \frac{4 y^{2} - 1}{2} = 0$

Etapa 4.2

Reescreva $4 y^{2}$ como ${(2 y)}^{2}$ .

$- y + \frac{{(2 y)}^{2} - 1}{2} = 0$

Etapa 4.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- y + \frac{{(2 y)}^{2} - 1^{2}}{2} = 0$

Etapa 4.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 y$ e $b = 1$ .

$- y + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Etapa 5

Para escrever $- y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- y \cdot \frac{2}{2} + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Etapa 6

Combine $- y$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- y \cdot 2}{2} + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- y \cdot 2 + (2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 y + (2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Etapa 8.2

Expanda $(2 y + 1) (2 y - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{2} = 0$

Etapa 8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{2} = 0$

Etapa 8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Etapa 8.3

Combine os termos opostos em $2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 8.3.1

Reorganize os fatores nos termos $2 y \cdot - 1$ e $1 (2 y)$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) - 1 \cdot (2 y) + 1 \cdot (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Etapa 8.3.2

Some $- 1 \cdot 2 y$ e $1 \cdot 2 y$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 0 + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Etapa 8.3.3

Some $2 y (2 y)$ e $0$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Etapa 8.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Etapa 8.4.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.2.1

Mova $y$ .

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Etapa 8.4.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Etapa 8.4.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{- 2 y + 4 y^{2} + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Etapa 8.4.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2 y + 4 y^{2} - 1}{2} = 0$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$\frac{4 y^{2} - 2 y - 1}{2} = 0$

Etapa 9

Defina o numerador como igual a zero.

$4 y^{2} - 2 y - 1 = 0$

Etapa 10

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 10.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 10.2

Substitua os valores $a = 4$ , $b = - 2$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.3

Simplifique.

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Etapa 10.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Etapa 10.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.3.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.3.1.3

Some $4$ e $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.3.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Etapa 10.3.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Etapa 10.3.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Etapa 10.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 10.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.4.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Etapa 10.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.4.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.4.1.3

Some $4$ e $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.4.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Etapa 10.4.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Etapa 10.4.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Etapa 10.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Etapa 10.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 10.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Etapa 10.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.5.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.5.1.3

Some $4$ e $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.5.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Etapa 10.5.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Etapa 10.5.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Etapa 10.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Etapa 10.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Forma decimal:

$y = 0.80901699 \dots, - 0.30901699 \dots$