Pré-cálculo Exemplos

$x^{8} - 32 x^{4} + 256 = 0$

Etapa 1

Reescreva $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

${(x^{4})}^{2} - 32 x^{4} + 256 = 0$

Etapa 2

Deixe $u = x^{4}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{4}$ .

$u^{2} - 32 u + 256 = 0$

Etapa 3

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.1

Reescreva $256$ como $16^{2}$ .

$u^{2} - 32 u + 16^{2} = 0$

Etapa 3.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$32 u = 2 \cdot u \cdot 16$

Etapa 3.3

Reescreva o polinômio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 16 + 16^{2} = 0$

Etapa 3.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 16$ .

${(u - 16)}^{2} = 0$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Etapa 5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Etapa 6

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Etapa 7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Etapa 8.2

Fatore.

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Etapa 8.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Etapa 8.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Etapa 9

Aplique a regra do produto a $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 10

Aplique a regra do produto a $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 12

Defina ${(x^{2} + 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina ${(x^{2} + 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Etapa 12.2

Resolva ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 12.2.1

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 12.2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 12.2.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 12.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 12.2.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Etapa 12.2.2.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 12.2.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 12.2.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 12.2.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 12.2.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 12.2.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 12.2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 12.2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 12.2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 12.2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 13

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 13.2

Resolva ${(x + 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 13.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 13.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 14

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 14.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 14.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 14.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 15

A solução final são todos os valores que tornam ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$