Pré-cálculo Exemplos

$x^{6} - 6 x^{3} - 7 = 0$

Etapa 1

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - 6 x^{3} - 7 = 0$

Etapa 2

Deixe $u = x^{3}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{3}$ .

$u^{2} - 6 u - 7 = 0$

Etapa 3

Fatore $u^{2} - 6 u - 7$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 7$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 7, 1$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 7) (u + 1) = 0$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$(x^{3} - 7) (x^{3} + 1) = 0$

Etapa 5

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$(x^{3} - 7) (x^{3} + 1^{3}) = 0$

Etapa 6

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x^{3} - 7) ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Etapa 7

Fatore.

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(x^{3} - 7) ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

Etapa 7.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(x^{3} - 7) ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Etapa 7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{3} - 7) (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Etapa 9

Defina $x^{3} - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.1

Defina $x^{3} - 7$ como igual a $0$ .

$x^{3} - 7 = 0$

Etapa 9.2

Resolva $x^{3} - 7 = 0$ para $x$ .

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Etapa 9.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x^{3} = 7$

Etapa 9.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{7}$

Etapa 10

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 11

Defina $x^{2} - x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x^{2} - x + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} - x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 11.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.3

Simplifique.

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Etapa 11.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 11.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.3.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.3.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 11.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 11.2.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 11.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.4.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.4.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 11.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 11.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 11.2.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.5.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 11.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.5.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.5.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 11.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 11.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{3} - 7) (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt[3]{7}, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$