Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x^{3} - 3 x + 1}{x^{3} - 5 x + 7}$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

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Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = \frac{2 x^{3} - 3 x + 1}{x^{3} - 5 x + 7}$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x^{3} - 3 x + 1 = 0$

Etapa 1.2.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $2 x^{3} - 3 x + 1$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.2.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 1.2.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5$

Etapa 1.2.2.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.2.2.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1 + 1$

Etapa 1.2.2.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 1$

Etapa 1.2.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 - 3 \cdot 1 + 1$

Etapa 1.2.2.1.3.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$2 - 3 + 1$

Etapa 1.2.2.1.3.5

Subtraia $3$ de $2$ .

$- 1 + 1$

Etapa 1.2.2.1.3.6

Some $- 1$ e $1$ .

$0$

Etapa 1.2.2.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x + 1}{x - 1}$

Etapa 1.2.2.1.5

Divida $2 x^{3} - 3 x + 1$ por $x - 1$ .

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Etapa 1.2.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

Etapa 1.2.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$

Etapa 1.2.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 1.2.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 1.2.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Etapa 1.2.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 1.2.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 1.2.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 1.2.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{2} - 2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 1.2.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$

Etapa 1.2.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

Etapa 1.2.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

Etapa 1.2.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							-	$x$	+	$1$

Etapa 1.2.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x + 1$ .

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 1.2.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$
										$0$

Etapa 1.2.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} + 2 x - 1$

Etapa 1.2.2.1.6

Escreva $2 x^{3} - 3 x + 1$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.2.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.2.4

Defina $2 x^{2} + 2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.1

Defina $2 x^{2} + 2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.4.2

Resolva $2 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.2.4.2.2

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 2$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 1.2.2.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.3.1.3

Some $4$ e $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.3.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 1.2.2.4.2.3.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.2.4.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.4.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.4.1.3

Some $4$ e $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.4.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.2.4.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 1.2.2.4.2.4.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2.4.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2.4.6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{3})}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2.4.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{3})}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.5.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.5.1.3

Some $4$ e $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.5.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.2.5.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.4.2.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 1.2.2.4.2.5.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2.5.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{3})}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2.5.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (\sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{3})}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2.5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(1, 0), (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, 0), (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = \frac{2 {(0)}^{3} - 3 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = \frac{2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = \frac{2 {(0)}^{3} - 3 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Etapa 2.2.4

Simplifique $\frac{2 {(0)}^{3} - 3 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = \frac{2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Etapa 2.2.4.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$y = \frac{0 - 3 \cdot 0 + 1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Etapa 2.2.4.1.3

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Etapa 2.2.4.1.4

Some $0$ e $0$ .

$y = \frac{0 + 1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Etapa 2.2.4.1.5

Some $0$ e $1$ .

$y = \frac{1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = \frac{1}{0 - 5 \cdot 0 + 7}$

Etapa 2.2.4.2.2

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$y = \frac{1}{0 + 0 + 7}$

Etapa 2.2.4.2.3

Some $0$ e $0$ .

$y = \frac{1}{0 + 7}$

Etapa 2.2.4.2.4

Some $0$ e $7$ .

$y = \frac{1}{7}$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, \frac{1}{7})$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(1, 0), (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, 0), (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, \frac{1}{7})$

Etapa 4