Pré-cálculo Exemplos

${(4^{x})}^{2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Multiplique os expoentes em ${(4^{x})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{x \cdot 2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Etapa 1.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$4^{2 x} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva $4^{2 x}$ como ${(4^{x})}^{2}$ .

${(4^{x})}^{2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Etapa 2.2

Deixe $u = 4^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $4^{x}$ .

$u^{2} - 65 u + 64 = 0$

Etapa 2.3

Fatore $u^{2} - 65 u + 64$ usando o método AC.

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Etapa 2.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $64$ e cuja soma é $- 65$ .

$- 64, - 1$

Etapa 2.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 64) (u - 1) = 0$

Etapa 2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4^{x}$ .

$(4^{x} - 64) (4^{x} - 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

$4^{x} - 1 = 0$

Etapa 4

Defina $4^{x} - 64$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $4^{x} - 64$ como igual a $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $4^{x} - 64 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $64$ aos dois lados da equação.

$4^{x} = 64$

Etapa 4.2.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$4^{x} = 4^{3}$

Etapa 4.2.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 3$

Etapa 5

Defina $4^{x} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $4^{x} - 1$ como igual a $0$ .

$4^{x} - 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $4^{x} - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4^{x} = 1$

Etapa 5.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (4^{x}) = \ln (1)$

Etapa 5.2.3

Expanda $\ln (4^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (4) = \ln (1)$

Etapa 5.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.4.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$x \ln (4) = 0$

Etapa 5.2.5

Divida cada termo em $x \ln (4) = 0$ por $\ln (4)$ e simplifique.

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Etapa 5.2.5.1

Divida cada termo em $x \ln (4) = 0$ por $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Etapa 5.2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.5.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (4)$ .

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Etapa 5.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Etapa 5.2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (4)}$

Etapa 5.2.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.5.3.1

Reescreva $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$x = \frac{0}{\ln (2^{2})}$

Etapa 5.2.5.3.2

Expanda $\ln (2^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$x = \frac{0}{2 \ln (2)}$

Etapa 5.2.5.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 5.2.5.3.3.1

Fatore $2$ de $0$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 \ln (2)}$

Etapa 5.2.5.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.5.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2 \ln (2)$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 (\ln (2))}$

Etapa 5.2.5.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot 0}{2 \ln (2)}$

Etapa 5.2.5.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{0}{\ln (2)}$

Etapa 5.2.5.3.4

Divida $0$ por $\ln (2)$ .

$x = 0$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(4^{x} - 64) (4^{x} - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, 0$