Pré-cálculo Exemplos

$9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{9}, \pm 6, \pm 8, \pm \frac{8}{3}, \pm \frac{8}{9}, \pm 12, \pm 24$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$9 {(- 2)}^{4} - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 2$ é a raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$9 \cdot 16 - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Etapa 4.1.2

Multiplique $9$ por $16$ .

$144 - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Etapa 4.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$144 - 9 \cdot - 8 - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 9$ por $- 8$ .

$144 + 72 - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Etapa 4.1.5

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$144 + 72 - 58 \cdot 4 + 4 (- 2) + 24$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 58$ por $4$ .

$144 + 72 - 232 + 4 (- 2) + 24$

Etapa 4.1.7

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$144 + 72 - 232 - 8 + 24$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $144$ e $72$ .

$216 - 232 - 8 + 24$

Etapa 4.2.2

Subtraia $232$ de $216$ .

$- 16 - 8 + 24$

Etapa 4.2.3

Subtraia $8$ de $- 16$ .

$- 24 + 24$

Etapa 4.2.4

Some $- 24$ e $24$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24}{x + 2}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(9)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$

	$9$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(9)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(- 18)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 9)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$
	$9$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$
	$9$	$- 27$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 27)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(54)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 58)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$
	$9$	$- 27$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$
	$9$	$- 27$	$- 4$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 4)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(8)$ sob o próximo termo no dividendo $(4)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$
	$9$	$- 27$	$- 4$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(12)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(- 24)$ sob o próximo termo no dividendo $(24)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$	$- 24$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$	$- 24$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$9 x^{3} + - 27 x^{2} + (- 4) x + 12$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$9 x^{3} - 27 x^{2} - 4 x + 12$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 2) (9 x^{3} - 27 x^{2}) - 4 x + 12$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 2) + 9 x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)$

$(x + 2) \cdot 9 x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 3$ .

$(x + 2) (x - 3) (9 x^{2} - 4)$

Etapa 9

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$(x + 2) (x - 3) ({(3 x)}^{2} - 4)$

Etapa 10

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x + 2) (x - 3) ({(3 x)}^{2} - 2^{2})$

Etapa 11

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3 x$ e $b = 2$ .

$(x + 2) + (x - 3) ((3 x + 2) (3 x - 2))$

Etapa 11.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) + (x - 3) (3 x + 2) (3 x - 2)$

$(x + 2) (x - 3) (3 x + 2) (3 x - 2)$

Etapa 12

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Reagrupe os termos.

$- 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 12.2

Fatore $- x$ de $- 9 x^{3} + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Fatore $- x$ de $- 9 x^{3}$ .

$- x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 12.2.2

Fatore $- x$ de $4 x$ .

$- x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 12.2.3

Fatore $- x$ de $- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ .

$- x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 12.3

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 12.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 12.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3 x$ e $b = 2$ .

$- x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 12.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 12.6

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 12.7

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Etapa 12.8

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.8.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ e cuja soma é $b = - 58$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.8.1.1

Fatore $- 58$ de $- 58 u$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Etapa 12.8.1.2

Reescreva $- 58$ como $- 4$ mais $- 54$

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24 = 0$

Etapa 12.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Etapa 12.8.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.8.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Etapa 12.8.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4) = 0$

Etapa 12.8.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $9 u - 4$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6) = 0$

Etapa 12.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 12.10

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 12.11

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 12.12

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3 x$ e $b = 2$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 12.13

Fatore $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.13.1

Fatore $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 12.13.2

Fatore $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6) = 0$

Etapa 12.14

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6) = 0$

Etapa 12.15

Fatore $- u + u^{2} - 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.15.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 12.15.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

Etapa 12.16

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.16.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Etapa 12.16.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Etapa 13

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 14

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Etapa 14.2

Resolva $3 x + 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 14.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 14.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 14.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 14.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 15

Defina $3 x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Defina $3 x - 2$ como igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Etapa 15.2

Resolva $3 x - 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$3 x = 2$

Etapa 15.2.2

Divida cada termo em $3 x = 2$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 15.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 15.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Etapa 16

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 16.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 17

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 17.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 18

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 3, - 2$

Etapa 19