Pré-cálculo Exemplos

$6 x^{2} - 7 x - 20$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 10, \pm \frac{10}{3}, \pm 20, \pm \frac{20}{3}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$6 {(\frac{5}{2})}^{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = \frac{5}{2}$ é a raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$6 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Etapa 4.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$6 \frac{25}{2^{2}} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Etapa 4.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$6 (\frac{25}{4}) - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{25}{4} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Etapa 4.1.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Etapa 4.1.4.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Etapa 4.1.4.4

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{25}{2}) - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Etapa 4.1.5

Combine $3$ e $\frac{25}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 25}{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Etapa 4.1.6

Multiplique $3$ por $25$ .

$\frac{75}{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Etapa 4.1.7

Multiplique $- 7 (\frac{5}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Combine $- 7$ e $\frac{5}{2}$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 7 \cdot 5}{2} - 20$

Etapa 4.1.7.2

Multiplique $- 7$ por $5$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 35}{2} - 20$

Etapa 4.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{75}{2} - \frac{35}{2} - 20$

Etapa 4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 20 + \frac{75 - 35}{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia $35$ de $75$ .

$- 20 + \frac{40}{2}$

Etapa 4.2.2.2

Divida $40$ por $2$ .

$- 20 + 20$

Etapa 4.2.2.3

Some $- 20$ e $20$ .

$0$

Etapa 5

Como $\frac{5}{2}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - \frac{5}{2}$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{6 x^{2} - 7 x - 20}{x - \frac{5}{2}}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(6)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$

	$6$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(6)$ pelo divisor $(\frac{5}{2})$ e coloque o resultado de $(15)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 7)$ .

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$
	$6$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$
	$6$	$8$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(8)$ pelo divisor $(\frac{5}{2})$ e coloque o resultado de $(20)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 20)$ .

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$	$20$
	$6$	$8$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$	$20$
	$6$	$8$	$0$

Etapa 6.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(6) x + 8$

Etapa 6.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$6 x + 8$

Etapa 7

Fatore $2$ de $6 x + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x) + 8)$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $8$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x) + 2 (4))$

Etapa 7.3

Fatore $2$ de $2 (3 x) + 2 (4)$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x + 4))$

Etapa 8

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 6 \cdot - 20 = - 120$ e cuja soma é $b = - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Fatore $- 7$ de $- 7 x$ .

$6 x^{2} - 7 x - 20 = 0$

Etapa 8.1.2

Reescreva $- 7$ como $8$ mais $- 15$

$6 x^{2} + (8 - 15) x - 20 = 0$

Etapa 8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} + 8 x - 15 x - 20 = 0$

Etapa 8.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(6 x^{2} + 8 x) - 15 x - 20 = 0$

Etapa 8.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 x (3 x + 4) - 5 (3 x + 4) = 0$

Etapa 8.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (2 x - 5) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Etapa 10

Defina $3 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Defina $3 x + 4$ como igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $3 x + 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 4$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 4$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 10.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Etapa 10.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{4}{3}$

Etapa 11

Defina $2 x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Defina $2 x - 5$ como igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $2 x - 5 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$2 x = 5$

Etapa 11.2.2

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 11.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 11.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x + 4) (2 x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{4}{3}, \frac{5}{2}$

Etapa 13