Pré-cálculo Exemplos

$6 x^{4} - 11 x^{3} - 51 x^{2} + 99 x - 27$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm 27, \pm \frac{27}{2}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$6 {(3)}^{4} - 11 {(3)}^{3} - 51 {(3)}^{2} + 99 (3) - 27$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 3$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$6 \cdot 81 - 11 {(3)}^{3} - 51 {(3)}^{2} + 99 (3) - 27$

Etapa 4.1.2

Multiplique $6$ por $81$ .

$486 - 11 {(3)}^{3} - 51 {(3)}^{2} + 99 (3) - 27$

Etapa 4.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$486 - 11 \cdot 27 - 51 {(3)}^{2} + 99 (3) - 27$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 11$ por $27$ .

$486 - 297 - 51 {(3)}^{2} + 99 (3) - 27$

Etapa 4.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$486 - 297 - 51 \cdot 9 + 99 (3) - 27$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 51$ por $9$ .

$486 - 297 - 459 + 99 (3) - 27$

Etapa 4.1.7

Multiplique $99$ por $3$ .

$486 - 297 - 459 + 297 - 27$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $297$ de $486$ .

$189 - 459 + 297 - 27$

Etapa 4.2.2

Subtraia $459$ de $189$ .

$- 270 + 297 - 27$

Etapa 4.2.3

Some $- 270$ e $297$ .

$27 - 27$

Etapa 4.2.4

Subtraia $27$ de $27$ .

$0$

Etapa 5

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{6 x^{4} - 11 x^{3} - 51 x^{2} + 99 x - 27}{x - 3}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(6)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$

	$6$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(6)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(18)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 11)$ .

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$
		$18$
	$6$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$
		$18$
	$6$	$7$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(7)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(21)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 51)$ .

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$
		$18$	$21$
	$6$	$7$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$
		$18$	$21$
	$6$	$7$	$- 30$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 30)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(- 90)$ sob o próximo termo no dividendo $(99)$ .

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$
		$18$	$21$	$- 90$
	$6$	$7$	$- 30$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$
		$18$	$21$	$- 90$
	$6$	$7$	$- 30$	$9$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(9)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(27)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 27)$ .

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$
		$18$	$21$	$- 90$	$27$
	$6$	$7$	$- 30$	$9$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$
		$18$	$21$	$- 90$	$27$
	$6$	$7$	$- 30$	$9$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$6 x^{3} + 7 x^{2} + (- 30) x + 9$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$6 x^{3} + 7 x^{2} - 30 x + 9$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1.1

Fatore $6 x^{3} + 7 x^{2} - 30 x + 9$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 7.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Etapa 7.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 9, \pm 1.5, \pm 4.5, \pm 3$

Etapa 7.1.1.3

Substitua $0.\overline{3}$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.\overline{3}$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 7.1.1.3.1

Substitua $0.\overline{3}$ no polinômio.

$6 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 7 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 30 \cdot 0.\overline{3} + 9$

Etapa 7.1.1.3.2

Eleve $0.\overline{3}$ à potência de $3$ .

$6 \cdot 0.\overline{037} + 7 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 30 \cdot 0.\overline{3} + 9$

Etapa 7.1.1.3.3

Multiplique $6$ por $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{2} + 7 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 30 \cdot 0.\overline{3} + 9$

Etapa 7.1.1.3.4

Eleve $0.\overline{3}$ à potência de $2$ .

$0.\overline{2} + 7 \cdot 0.\overline{1} - 30 \cdot 0.\overline{3} + 9$

Etapa 7.1.1.3.5

Multiplique $7$ por $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{2} + 0.\overline{7} - 30 \cdot 0.\overline{3} + 9$

Etapa 7.1.1.3.6

Some $0.\overline{2}$ e $0.\overline{7}$ .

$1 - 30 \cdot 0.\overline{3} + 9$

Etapa 7.1.1.3.7

Multiplique $- 30$ por $0.\overline{3}$ .

$1 - 10 + 9$

Etapa 7.1.1.3.8

Subtraia $10$ de $1$ .

$- 9 + 9$

Etapa 7.1.1.3.9

Some $- 9$ e $9$ .

$0$

Etapa 7.1.1.4

Como $0.\overline{3}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $3 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{6 x^{3} + 7 x^{2} - 30 x + 9}{3 x - 1}$

Etapa 7.1.1.5

Divida $6 x^{3} + 7 x^{2} - 30 x + 9$ por $3 x - 1$ .

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Etapa 7.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$1$

$6 x^{3}$

$7 x^{2}$

$30 x$

$9$

Etapa 7.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

					$2 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$

Etapa 7.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			+	$6 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$

Etapa 7.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $9 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$

Etapa 7.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 7.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $9 x^{2} - 3 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 7.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$27 x$

Etapa 7.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$27 x$	+	$9$

Etapa 7.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 27 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$27 x$	+	$9$

Etapa 7.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$27 x$	+	$9$
							-	$27 x$	+	$9$

Etapa 7.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 27 x + 9$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$27 x$	+	$9$
							+	$27 x$	-	$9$

Etapa 7.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$27 x$	+	$9$
							+	$27 x$	-	$9$
										$0$

Etapa 7.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} + 3 x - 9$

Etapa 7.1.1.6

Escreva $6 x^{3} + 7 x^{2} - 30 x + 9$ como um conjunto de fatores.

$(3 x - 1) (2 x^{2} + 3 x - 9) = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 7.1.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 9 = - 18$ e cuja soma é $b = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$(3 x - 1) (2 x^{2} + 3 (x) - 9) = 0$

Etapa 7.1.2.1.1.2

Reescreva $3$ como $- 3$ mais $6$

$(3 x - 1) (2 x^{2} + (- 3 + 6) x - 9) = 0$

Etapa 7.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x - 1) (2 x^{2} - 3 x + 6 x - 9) = 0$

Etapa 7.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x - 1) ((2 x^{2} - 3 x) + 6 x - 9) = 0$

Etapa 7.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(3 x - 1) (x (2 x - 3) + 3 (2 x - 3)) = 0$

Etapa 7.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 3$ .

$(3 x - 1) ((2 x - 3) (x + 3)) = 0$

Etapa 7.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(3 x - 1) (2 x - 3) (x + 3) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 7.3

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Etapa 7.3.2

Resolva $3 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Etapa 7.3.2.2

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 7.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 7.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 7.4

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $2 x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x = 3$

Etapa 7.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 7.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 7.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 7.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 7.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 7.6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 1) (2 x - 3) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{3}, \frac{3}{2}, - 3$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 3) (x - \frac{1}{3}) (x - \frac{3}{2}) (x + 3)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $6 x^{4} - 11 x^{3} - 51 x^{2} + 99 x - 27$ .

$x = 3, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}, - 3$

Etapa 10