Pré-cálculo Exemplos

$- 4 x^{2} + 4 x - 1$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$- 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = \frac{1}{2}$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 4 \frac{1}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Etapa 4.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 4 (\frac{1}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.1.4.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Etapa 4.1.4.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot - 1 \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Etapa 4.1.4.3

Reescreva a expressão.

$- 1 + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Etapa 4.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 1 + 2 (2) \frac{1}{2} - 1$

Etapa 4.1.5.2

Cancele o fator comum.

$- 1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 1$

Etapa 4.1.5.3

Reescreva a expressão.

$- 1 + 2 - 1$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $- 1$ e $2$ .

$1 - 1$

Etapa 4.2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$0$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - \frac{1}{2}$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- 4 x^{2} + 4 x - 1}{x - \frac{1}{2}}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(- 4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

	$- 4$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 4)$ pelo divisor $(\frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(- 2)$ sob o próximo termo no dividendo $(4)$ .

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$	$2$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(\frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$	$0$

Etapa 6.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(- 4) x + 2$

Etapa 6.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$- 4 x + 2$

Etapa 7

Fatore $2$ de $- 4 x + 2$ .

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Etapa 7.1

Fatore $2$ de $- 4 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2)$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $2$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2 (1))$

Etapa 7.3

Fatore $2$ de $2 (- 2 x) + 2 (1)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x + 1))$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Fatore $- 1$ de $- 4 x^{2} + 4 x - 1$ .

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Etapa 8.1.1

Fatore $- 1$ de $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) + 4 x - 1 = 0$

Etapa 8.1.2

Fatore $- 1$ de $4 x$ .

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 = 0$

Etapa 8.1.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 8.1.4

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{2}) - (- 4 x)$ .

$- (4 x^{2} - 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 8.1.5

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{2} - 4 x) - 1 (1)$ .

$- (4 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Etapa 8.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 8.2.1

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1) = 0$

Etapa 8.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2}) = 0$

Etapa 8.2.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Etapa 8.2.4

Reescreva o polinômio.

$- ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 8.2.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$- {(2 x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 9

Divida cada termo em $- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Divida cada termo em $- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- {(2 x - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 9.2.2

Divida ${(2 x - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 10

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 11

Resolva $x$ .

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Etapa 11.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 11.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 11.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 11.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 12