Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{4} - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 30, \pm 60$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 4, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 6, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm \frac{15}{4}, \pm 20, \pm 30, \pm 60$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$4 {(3)}^{4} - 22 {(3)}^{3} + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 3$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$4 \cdot 81 - 22 {(3)}^{3} + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Etapa 4.1.2

Multiplique $4$ por $81$ .

$324 - 22 {(3)}^{3} + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Etapa 4.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$324 - 22 \cdot 27 + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 22$ por $27$ .

$324 - 594 + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Etapa 4.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$324 - 594 + 38 \cdot 9 - 44 \cdot 3 + 60$

Etapa 4.1.6

Multiplique $38$ por $9$ .

$324 - 594 + 342 - 44 \cdot 3 + 60$

Etapa 4.1.7

Multiplique $- 44$ por $3$ .

$324 - 594 + 342 - 132 + 60$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $594$ de $324$ .

$- 270 + 342 - 132 + 60$

Etapa 4.2.2

Some $- 270$ e $342$ .

$72 - 132 + 60$

Etapa 4.2.3

Subtraia $132$ de $72$ .

$- 60 + 60$

Etapa 4.2.4

Some $- 60$ e $60$ .

$0$

Etapa 5

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{4} - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60}{x - 3}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$

	$4$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(12)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 22)$ .

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$
	$4$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$
	$4$	$- 10$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 10)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(- 30)$ sob o próximo termo no dividendo $(38)$ .

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$
	$4$	$- 10$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$
	$4$	$- 10$	$8$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(8)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(24)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 44)$ .

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$
	$4$	$- 10$	$8$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$
	$4$	$- 10$	$8$	$- 20$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 20)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(- 60)$ sob o próximo termo no dividendo $(60)$ .

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$	$- 60$
	$4$	$- 10$	$8$	$- 20$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$	$- 60$
	$4$	$- 10$	$8$	$- 20$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{3} + - 10 x^{2} + (8) x - 20$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x - 20$

Etapa 7

Fatore $2$ de $4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x - 20$ .

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Etapa 7.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) - 10 x^{2} + 8 x - 20)$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $- 10 x^{2}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 8 x - 20)$

Etapa 7.3

Fatore $2$ de $8 x$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 2 (4 x) - 20)$

Etapa 7.4

Fatore $2$ de $- 20$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 10))$

Etapa 7.5

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2})$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 5 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 10))$

Etapa 7.6

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} - 5 x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x) + 2 (- 10))$

Etapa 7.7

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x) + 2 (- 10)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 10))$

Etapa 8

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 3) (2 ((2 x^{3} - 5 x^{2}) + 4 x - 10))$

Etapa 8.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 3) (2 (x^{2} (2 x - 5) + 2 (2 x - 5)))$

Etapa 9

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 5$ .

$(x - 3) (2 ((2 x - 5) (x^{2} + 2)))$

Etapa 9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 3) (2 (2 x - 5) (x^{2} + 2))$

Etapa 10

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Fatore $2$ de $4 x^{4} - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Fatore $2$ de $4 x^{4}$ .

$2 (2 x^{4}) - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60 = 0$

Etapa 10.1.2

Fatore $2$ de $- 22 x^{3}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 38 x^{2} - 44 x + 60 = 0$

Etapa 10.1.3

Fatore $2$ de $38 x^{2}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) - 44 x + 60 = 0$

Etapa 10.1.4

Fatore $2$ de $- 44 x$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 60 = 0$

Etapa 10.1.5

Fatore $2$ de $60$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (30) = 0$

Etapa 10.1.6

Fatore $2$ de $2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (30) = 0$

Etapa 10.1.7

Fatore $2$ de $2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (30) = 0$

Etapa 10.1.8

Fatore $2$ de $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2}) + 2 (- 22 x)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2} - 22 x) + 2 (30) = 0$

Etapa 10.1.9

Fatore $2$ de $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2} - 22 x) + 2 (30)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2} - 22 x + 30) = 0$

Etapa 10.2

Reagrupe os termos.

$2 (- 11 x^{3} - 22 x + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Etapa 10.3

Fatore $- 11 x$ de $- 11 x^{3} - 22 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Fatore $- 11 x$ de $- 11 x^{3}$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 22 x + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Etapa 10.3.2

Fatore $- 11 x$ de $- 22 x$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 11 x \cdot 2 + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Etapa 10.3.3

Fatore $- 11 x$ de $- 11 x (x^{2}) - 11 x (2)$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Etapa 10.4

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 {(x^{2})}^{2} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Etapa 10.5

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 19 u + 30) = 0$

Etapa 10.6

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 30 = 60$ e cuja soma é $b = 19$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.1.1

Fatore $19$ de $19 u$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 19 (u) + 30) = 0$

Etapa 10.6.1.2

Reescreva $19$ como $4$ mais $15$

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + (4 + 15) u + 30) = 0$

Etapa 10.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 4 u + 15 u + 30) = 0$

Etapa 10.6.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 4 u + 15 u + 30) = 0$

Etapa 10.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u (u + 2) + 15 (u + 2)) = 0$

Etapa 10.6.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $u + 2$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + (u + 2) (2 u + 15)) = 0$

Etapa 10.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)) = 0$

Etapa 10.8

Fatore $x^{2} + 2$ de $- 11 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.8.1

Fatore $x^{2} + 2$ de $- 11 x (x^{2} + 2)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)) = 0$

Etapa 10.8.2

Fatore $x^{2} + 2$ de $(x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 15)) = 0$

Etapa 10.9

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 u + 2 u^{2} + 15)) = 0$

Etapa 10.10

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.10.1

Reordene os termos.

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 11 u + 15)) = 0$

Etapa 10.10.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ e cuja soma é $b = - 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.10.2.1

Fatore $- 11$ de $- 11 u$ .

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 11 u + 15)) = 0$

Etapa 10.10.2.2

Reescreva $- 11$ como $- 5$ mais $- 6$

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} + (- 5 - 6) u + 15)) = 0$

Etapa 10.10.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 5 u - 6 u + 15)) = 0$

Etapa 10.10.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.10.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 ((x^{2} + 2) ((2 u^{2} - 5 u) - 6 u + 15)) = 0$

Etapa 10.10.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 ((x^{2} + 2) (u (2 u - 5) - 3 (2 u - 5))) = 0$

Etapa 10.10.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 5$ .

$2 ((x^{2} + 2) ((2 u - 5) (u - 3))) = 0$

Etapa 10.11

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.11.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.11.1.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$2 ((x^{2} + 2) ((2 x - 5) (x - 3))) = 0$

Etapa 10.11.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x - 5) (x - 3)) = 0$

Etapa 10.11.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x^{2} + 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 12

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 12.2

Resolva $x^{2} + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 12.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 2$

Etapa 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 12.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 12.2.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 12.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 12.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 12.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 12.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 12.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 12.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 13

Defina $2 x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $2 x - 5$ como igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Etapa 13.2

Resolva $2 x - 5 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$2 x = 5$

Etapa 13.2.2

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 13.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 13.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 13.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 14

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 14.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 15

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x^{2} + 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, \frac{5}{2}, 3$

Etapa 16