Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 8, \pm 14, \pm 28, \pm 56$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{4}, \pm 8, \pm 14, \pm 28, \pm 56$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$4 {(2)}^{4} - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 2$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$4 \cdot 16 - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Etapa 4.1.2

Multiplique $4$ por $16$ .

$64 - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Etapa 4.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$64 - 22 \cdot 8 + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 22$ por $8$ .

$64 - 176 + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Etapa 4.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$64 - 176 + 36 \cdot 4 - 44 \cdot 2 + 56$

Etapa 4.1.6

Multiplique $36$ por $4$ .

$64 - 176 + 144 - 44 \cdot 2 + 56$

Etapa 4.1.7

Multiplique $- 44$ por $2$ .

$64 - 176 + 144 - 88 + 56$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $176$ de $64$ .

$- 112 + 144 - 88 + 56$

Etapa 4.2.2

Some $- 112$ e $144$ .

$32 - 88 + 56$

Etapa 4.2.3

Subtraia $88$ de $32$ .

$- 56 + 56$

Etapa 4.2.4

Some $- 56$ e $56$ .

$0$

Etapa 5

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56}{x - 2}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$

	$4$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(8)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 22)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$
	$4$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$
	$4$	$- 14$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 14)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(- 28)$ sob o próximo termo no dividendo $(36)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$
	$4$	$- 14$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$
	$4$	$- 14$	$8$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(8)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(16)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 44)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$
	$4$	$- 14$	$8$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 28)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(- 56)$ sob o próximo termo no dividendo $(56)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$	$- 56$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$	$- 56$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{3} + - 14 x^{2} + (8) x - 28$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{3} - 14 x^{2} + 8 x - 28$

Etapa 7

Fatore $2$ de $4 x^{3} - 14 x^{2} + 8 x - 28$ .

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Etapa 7.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) - 14 x^{2} + 8 x - 28)$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $- 14 x^{2}$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 8 x - 28)$

Etapa 7.3

Fatore $2$ de $8 x$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (4 x) - 28)$

Etapa 7.4

Fatore $2$ de $- 28$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 14))$

Etapa 7.5

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2})$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 14))$

Etapa 7.6

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} - 7 x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x) + 2 (- 14))$

Etapa 7.7

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x) + 2 (- 14)$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x - 14))$

Etapa 8

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 2) (2 ((2 x^{3} - 7 x^{2}) + 4 x - 14))$

Etapa 8.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 2) (2 (x^{2} (2 x - 7) + 2 (2 x - 7)))$

Etapa 9

Fatore.

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Etapa 9.1

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 7$ .

$(x - 2) (2 ((2 x - 7) (x^{2} + 2)))$

Etapa 9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 2) (2 (2 x - 7) (x^{2} + 2))$

Etapa 10

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 10.1

Fatore $2$ de $4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Fatore $2$ de $4 x^{4}$ .

$2 (2 x^{4}) - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56 = 0$

Etapa 10.1.2

Fatore $2$ de $- 22 x^{3}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 36 x^{2} - 44 x + 56 = 0$

Etapa 10.1.3

Fatore $2$ de $36 x^{2}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) - 44 x + 56 = 0$

Etapa 10.1.4

Fatore $2$ de $- 44 x$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 56 = 0$

Etapa 10.1.5

Fatore $2$ de $56$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Etapa 10.1.6

Fatore $2$ de $2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Etapa 10.1.7

Fatore $2$ de $2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Etapa 10.1.8

Fatore $2$ de $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2}) + 2 (- 22 x)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x) + 2 (28) = 0$

Etapa 10.1.9

Fatore $2$ de $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x) + 2 (28)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x + 28) = 0$

Etapa 10.2

Reagrupe os termos.

$2 (- 11 x^{3} - 22 x + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Etapa 10.3

Fatore $- 11 x$ de $- 11 x^{3} - 22 x$ .

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Etapa 10.3.1

Fatore $- 11 x$ de $- 11 x^{3}$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 22 x + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Etapa 10.3.2

Fatore $- 11 x$ de $- 22 x$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 11 x \cdot 2 + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Etapa 10.3.3

Fatore $- 11 x$ de $- 11 x (x^{2}) - 11 x (2)$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Etapa 10.4

Fatore $2$ de $2 x^{4} + 18 x^{2} + 28$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Fatore $2$ de $2 x^{4}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4}) + 18 x^{2} + 28) = 0$

Etapa 10.4.2

Fatore $2$ de $18 x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4}) + 2 (9 x^{2}) + 28) = 0$

Etapa 10.4.3

Fatore $2$ de $28$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 14) = 0$

Etapa 10.4.4

Fatore $2$ de $2 x^{4} + 2 (9 x^{2})$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4} + 9 x^{2}) + 2 \cdot 14) = 0$

Etapa 10.4.5

Fatore $2$ de $2 (x^{4} + 9 x^{2}) + 2 \cdot 14$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4} + 9 x^{2} + 14)) = 0$

Etapa 10.5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ({(x^{2})}^{2} + 9 x^{2} + 14)) = 0$

Etapa 10.6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (u^{2} + 9 u + 14)) = 0$

Etapa 10.7

Fatore $u^{2} + 9 u + 14$ usando o método AC.

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Etapa 10.7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $14$ e cuja soma é $9$ .

$2, 7$

Etapa 10.7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ((u + 2) (u + 7))) = 0$

Etapa 10.8

Fatore.

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Etapa 10.8.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ((x^{2} + 2) (x^{2} + 7))) = 0$

Etapa 10.8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)) = 0$

Etapa 10.9

Fatore $x^{2} + 2$ de $- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.9.1

Fatore $x^{2} + 2$ de $- 11 x (x^{2} + 2)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)) = 0$

Etapa 10.9.2

Fatore $x^{2} + 2$ de $2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 7))) = 0$

Etapa 10.9.3

Fatore $x^{2} + 2$ de $(x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 7))$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 (x^{2} + 7))) = 0$

Etapa 10.10

Aplique a propriedade distributiva.

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 7)) = 0$

Etapa 10.11

Multiplique $2$ por $7$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 14)) = 0$

Etapa 10.12

Reordene os termos.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 11 x + 14)) = 0$

Etapa 10.13

Fatore.

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Etapa 10.13.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.13.1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 10.13.1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 14 = 28$ e cuja soma é $b = - 11$ .

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Etapa 10.13.1.1.1.1

Fatore $- 11$ de $- 11 x$ .

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 11 x + 14)) = 0$

Etapa 10.13.1.1.1.2

Reescreva $- 11$ como $- 4$ mais $- 7$

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} + (- 4 - 7) x + 14)) = 0$

Etapa 10.13.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 4 x - 7 x + 14)) = 0$

Etapa 10.13.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 10.13.1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 ((x^{2} + 2) ((2 x^{2} - 4 x) - 7 x + 14)) = 0$

Etapa 10.13.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x (x - 2) - 7 (x - 2))) = 0$

Etapa 10.13.1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 2$ .

$2 ((x^{2} + 2) ((x - 2) (2 x - 7))) = 0$

Etapa 10.13.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 ((x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7)) = 0$

Etapa 10.13.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$2 x - 7 = 0$

Etapa 12

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 12.2

Resolva $x^{2} + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 12.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 2$

Etapa 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 12.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 12.2.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 12.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 12.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 12.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 12.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 12.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 12.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 13

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 13.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 14

Defina $2 x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.1

Defina $2 x - 7$ como igual a $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Etapa 14.2

Resolva $2 x - 7 = 0$ para $x$ .

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Etapa 14.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$2 x = 7$

Etapa 14.2.2

Divida cada termo em $2 x = 7$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 14.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 7$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Etapa 14.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 14.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Etapa 14.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Etapa 15

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7) = 0$ verdadeiro.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, 2, \frac{7}{2}$

Etapa 16