Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{5} - 8 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + x - 2$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$4 {(1)}^{5} - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Remova os parênteses.

$4 {(1)}^{5} - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \cdot 1 - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Etapa 4.2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Etapa 4.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 - 8 \cdot 1 - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Etapa 4.2.4

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$4 - 8 - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Etapa 4.2.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 - 8 - 5 \cdot 1 + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Etapa 4.2.6

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$4 - 8 - 5 + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Etapa 4.2.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 - 8 - 5 + 10 \cdot 1 + 1 - 2$

Etapa 4.2.8

Multiplique $10$ por $1$ .

$4 - 8 - 5 + 10 + 1 - 2$

Etapa 4.3

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $8$ de $4$ .

$- 4 - 5 + 10 + 1 - 2$

Etapa 4.3.2

Subtraia $5$ de $- 4$ .

$- 9 + 10 + 1 - 2$

Etapa 4.3.3

Some $- 9$ e $10$ .

$1 + 1 - 2$

Etapa 4.3.4

Some $1$ e $1$ .

$2 - 2$

Etapa 4.3.5

Subtraia $2$ de $2$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{5} - 8 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + x - 2}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$

	$4$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 8)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$
	$4$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$
	$4$	$- 4$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 4)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 5)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$
	$4$	$- 4$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$
	$4$	$- 4$	$- 9$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 9)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 9)$ sob o próximo termo no dividendo $(10)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$
	$4$	$- 4$	$- 9$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(1)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$

Etapa 6.11

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$

Etapa 6.12

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$	$0$

Etapa 6.13

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{4} + - 4 x^{3} - 9 x^{2} + 1 x + 2$

Etapa 6.14

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + x + 2$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1.1

Reagrupe os termos.

$- 4 x^{3} + x + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $- x$ de $- 4 x^{3} + x$ .

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Etapa 7.1.2.1

Fatore $- x$ de $- 4 x^{3}$ .

$- x (4 x^{2}) + x + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 7.1.2.2

Reescreva $x$ como $1 x$ .

$- x (4 x^{2}) + 1 x + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 7.1.2.3

Fatore $- x$ de $1 x$ .

$- x (4 x^{2}) - x \cdot - 1 + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 7.1.2.4

Fatore $- x$ de $- x (4 x^{2}) - x (- 1)$ .

$- x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 7.1.3

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$- x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 7.1.4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 7.1.5

Fatore.

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Etapa 7.1.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$- x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 7.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 7.1.6

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 7.1.7

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Etapa 7.1.8

Fatore por agrupamento.

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Etapa 7.1.8.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 2 = 8$ e cuja soma é $b = - 9$ .

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Etapa 7.1.8.1.1

Fatore $- 9$ de $- 9 u$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Etapa 7.1.8.1.2

Reescreva $- 9$ como $- 1$ mais $- 8$

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 - 8) u + 2 = 0$

Etapa 7.1.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

Etapa 7.1.8.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1.8.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

Etapa 7.1.8.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) - 2 (4 u - 1) = 0$

Etapa 7.1.8.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u - 1$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u - 2) = 0$

Etapa 7.1.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 7.1.10

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 7.1.11

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 7.1.12

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 7.1.13

Fatore $(2 x + 1) (2 x - 1)$ de $- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2)$ .

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Etapa 7.1.13.1

Fatore $(2 x + 1) (2 x - 1)$ de $- x (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 7.1.13.2

Fatore $(2 x + 1) (2 x - 1)$ de $(2 x + 1) (2 x - 1) (- x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2)$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- x + x^{2} - 2) = 0$

Etapa 7.1.14

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- u + u^{2} - 2) = 0$

Etapa 7.1.15

Fatore $- u + u^{2} - 2$ usando o método AC.

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Etapa 7.1.15.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 7.1.15.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Etapa 7.1.16

Fatore.

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Etapa 7.1.16.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Etapa 7.1.16.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 2) (x + 1) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 7.3

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 7.3.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 7.3.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 7.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 7.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 7.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 7.4

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 7.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 7.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 7.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 7.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7.7

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 2) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2, - 1$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 1) (x + \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{2}) (x - 2) (x + 1)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $4 x^{5} - 8 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + x - 2$ .

$x = 1, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2, - 1$

Etapa 10