Pré-cálculo Exemplos

$2 x^{4} - x^{3} - 26 x^{2} - 11 x + 12$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$2 {(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} - 26 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 + 12$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$2 \cdot 1 - {(- 1)}^{3} - 26 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 + 12$

Etapa 4.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 - {(- 1)}^{3} - 26 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 + 12$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ .

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Etapa 4.1.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$2 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} - 26 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 + 12$

Etapa 4.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 + {(- 1)}^{1 + 3} - 26 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 + 12$

Etapa 4.1.3.2

Some $1$ e $3$ .

$2 + {(- 1)}^{4} - 26 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 + 12$

Etapa 4.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$2 + 1 - 26 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 + 12$

Etapa 4.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2 + 1 - 26 \cdot 1 - 11 \cdot - 1 + 12$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 26$ por $1$ .

$2 + 1 - 26 - 11 \cdot - 1 + 12$

Etapa 4.1.7

Multiplique $- 11$ por $- 1$ .

$2 + 1 - 26 + 11 + 12$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $2$ e $1$ .

$3 - 26 + 11 + 12$

Etapa 4.2.2

Subtraia $26$ de $3$ .

$- 23 + 11 + 12$

Etapa 4.2.3

Some $- 23$ e $11$ .

$- 12 + 12$

Etapa 4.2.4

Some $- 12$ e $12$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} - 26 x^{2} - 11 x + 12}{x + 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$

	$2$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 2)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$
		$- 2$
	$2$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$
		$- 2$
	$2$	$- 3$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 3)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(3)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 26)$ .

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$
		$- 2$	$3$
	$2$	$- 3$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$
		$- 2$	$3$
	$2$	$- 3$	$- 23$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 23)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(23)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 11)$ .

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$
		$- 2$	$3$	$23$
	$2$	$- 3$	$- 23$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$
		$- 2$	$3$	$23$
	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(12)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 12)$ sob o próximo termo no dividendo $(12)$ .

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$
		$- 2$	$3$	$23$	$- 12$
	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$- 1$	$- 26$	$- 11$	$12$
		$- 2$	$3$	$23$	$- 12$
	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{3} + - 3 x^{2} + (- 23) x + 12$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1.1

Fatore $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 7.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 7.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Etapa 7.1.1.3

Substitua $0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 7.1.1.3.1

Substitua $0.5$ no polinômio.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 7.1.1.3.2

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 7.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $0.125$ .

$0.25 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 7.1.1.3.4

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$0.25 - 3 \cdot 0.25 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 7.1.1.3.5

Multiplique $- 3$ por $0.25$ .

$0.25 - 0.75 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 7.1.1.3.6

Subtraia $0.75$ de $0.25$ .

$- 0.5 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 7.1.1.3.7

Multiplique $- 23$ por $0.5$ .

$- 0.5 - 11.5 + 12$

Etapa 7.1.1.3.8

Subtraia $11.5$ de $- 0.5$ .

$- 12 + 12$

Etapa 7.1.1.3.9

Some $- 12$ e $12$ .

$0$

Etapa 7.1.1.4

Como $0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12}{2 x - 1}$

Etapa 7.1.1.5

Divida $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ por $2 x - 1$ .

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Etapa 7.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$12$

Etapa 7.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$

Etapa 7.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$

Etapa 7.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$

Etapa 7.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Etapa 7.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} + x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Etapa 7.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$

Etapa 7.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$

Etapa 7.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 24 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$

Etapa 7.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							-	$24 x$	+	$12$

Etapa 7.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 24 x + 12$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	-	$12$

Etapa 7.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	-	$12$
										$0$

Etapa 7.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x - 12$

Etapa 7.1.1.6

Escreva $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ como um conjunto de fatores.

$(2 x - 1) (x^{2} - x - 12) = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $x^{2} - x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 7.1.2.1

Fatore $x^{2} - x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 7.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 4, 3$

Etapa 7.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(2 x - 1) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Etapa 7.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 x - 1) (x - 4) (x + 3) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 7.3

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 7.3.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 7.3.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 7.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 7.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 7.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 7.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 7.6

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 1) (x - 4) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, 4, - 3$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x + 1) (x - \frac{1}{2}) (x - 4) (x + 3)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $2 x^{4} - x^{3} - 26 x^{2} - 11 x + 12$ .

$x = - 1, \frac{1}{2}, 4, - 3$

Etapa 10